bach7a5018

a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối

b) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho tổng hai chữ số đầu bằng tổng hai chữ số cuối

Cho a, b,c ,d là các số tự nhiên thỏa mãn: ac = bd. Chứng minh rằng $A=a^{n}+b^{n}+c^{n}+d^{n}$ là hợp số

Cho a; b; c là các số thực dương thỏa mãn: $a^4  + b^4  + c^4  = 3$

Cmr $n^{n}-n^{2}+n-1\vdots (n-1)^{2}, n\in \mathbb{Z}, n\geq 2$

đối với dạng này thì dùng quy nạp nhé bạn

Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: $2^{x}+1=y^{2}$             (1)

Ta có: $\left ( 1 \right )\Leftrightarrow 2^{x}=\left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right )$

Do $\left ( y+1 \right )-\left ( y-1 \right )=2$ nên y-1 và y+1 có cùng tính chẵn lẻ. Mà dễ thấy y lẻ nên y-1 và y+1 là 2 số chẵn

Đặt $y-1=2^{m}$ và $y+1=2^{n}$ với m < n và $m,n\in N*$

Ta lại có:  $\left (y+1 \right )-\left ( y-1 \right )=2\Leftrightarrow 2^{n}-2^{m}=2\Leftrightarrow 2^{m}\left ( 2^{m-n}-1 \right )=2$

$\Rightarrow 2\vdots 2^{m}\Rightarrow 1\geq m\Rightarrow m=1\Rightarrow y=2^{1}+1=3\Rightarrow 2^{x}=8\Rightarrow x=3$

Vậy x = y = 3

thì đề cho là hợp số mà bạn

Với n=6 thì nó sai bạn ạ ???

Đề đúng mà. Với n = 6 thì $1.2.3.4.5=120\vdots 6$ 

Tìm số tự nhiên n sao cho 

 

$a)n.2^n+1 \vdots 3 $

 

$b)3^n+4n+1 \vdots 10$

Hoặc là có thể dùng phương pháp quy nạp để giải các bài toán dạng này

 

7.       $x^2+y^2=2z^2$         (7)

Ta có: $\left( 7 \right) \Leftrightarrow 2x^2  + 2y^2  = 4z^2  \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)^2  + \left( {x - y} \right)^2  = \left( {2z} \right)^2 $

10.          $(x+1)(y+z)=xyz+2$                (6)

- Xét x = 1. Ta có: $\left( 6 \right) \Leftrightarrow 2\left( {y + z} \right) = yz + 2 \Leftrightarrow \left( {yz - 2y} \right) - \left( {2z - 4} \right) = 2 \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {z - 2} \right) = 2$

 Giải phương trình trên ta tìm được bộ ba số ( x, y, z ) = ( 1, 3, 4 ); ( 1, 4, 3 )

 

6. $x^6+3x^3+1=y^4$

Do $x,y \ge 1$ nên $x^6  + 2x^3  + 1 < x^6  + 3x^3  + 1 < x^6  + 4x^3  + 4 \Leftrightarrow \left( {x^3  + 1} \right)^2  < y^4  < \left( {x^3  + 2} \right)^2 $    (vô lí)

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương

 

MỘT SỐ BÀI TOÁN

 

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DƯƠNG .

 

I, Đơn giản:

 

1.$2x+3y=5xy$

 

2. $3x^2 +7xy+4y^2=30$

 

3. $x+y+z=xyz$

 

4. $u(u-1)= t^2$ (1)

 

(cách giải của (1) được áp dụng khá nhiều trong GPTNN rằng không tồn tại số nguyên a sao cho $X^2<a^2<(X+1)^2$)

 

II.Nâng cao

 

1. $6^x+8^x=10^x$

 

( Tổng quát để giải phương trình: $3^x+4^y=5^z$ )

 

2. $2xyzt = 5(x+y+z+t) + 10$

 

3. $x^2+(x+1)^2=y^4+(y+1)^4$

 

4.$x^3-y^3-xy=8$

 

5. $x+y+z+t=xyzt$

 

6. $x^6+3x^3+1=y^4$

 

7. $x^2+y^2=2z^2$

 

8.$x^2+y^2=z^2$

 

9.$x^3-3y^3-9y^3=0$

 

10. $(x+1)(y+z)=xyz+2$

 

Mỗi một bài toán ẩn chứa trong đó các phương pháp nhất định. Các bạn thử làm xem nhé !

 

đề bài 9 hình như có vấn đề đó bạn

 

4.     $x^3-y^3-xy=8$                  (5)

 

Ta có: $\left( 5 \right) \Leftrightarrow \left| {x - y} \right|\left| {x^2  + xy + y^2 } \right| = \left| {xy + 8} \right|$

 

3.          $x^2+(x+1)^2=y^4+(y+1)^4$               (4)

Ta có:  $\left( 4 \right) \Leftrightarrow 2x^2  + 2x + 1 = 2y^4  + 4y^3  + 6y^2  + 4y + 1 \Leftrightarrow x^2  + x = y^4  + 2y^3  + 3y^2  + 2y \Leftrightarrow x^2  + x + 1 = y^4  + 2y^3  + 3y^2  + 2y + 1 \Leftrightarrow x^2  + x + 1 = \left( {y^2  + y + 1} \right)^2 $

Mặt khác: Do $x \ge 1$ nên $x^2  < x^2  + x + 1 < \left( {x + 1} \right)^2  \Leftrightarrow x^2  < \left( {y^2  + y + 1} \right)^2  < \left( {x + 1} \right)^2 $   ( vô lí )

Vậy không tìm được các số nguyên dương x, y thỏa mãn đề bài

8.$x^2+y^2=z^2$       (3)

Trước hết ta có thể giả sử x, y, z là bộ ba số nguyên tố cùng nhau. Thật vậy:

  Nếu bộ ba số x₀, y₀, z₀ thỏa mãn   (3) và có ƯCLN là d. Giả sử x₀ = d.x_1;  y₀ = d.y_1;  z₀ = d.z₁ thì x₁, y₁, z₁ cũng là nghiệm của (3)

- Với x, y, z nguyên tố cùng nhau thì chúng đôi một nguyên tố cùng nhau. Ta thấy x và y không thể cùng chẵn ( vì chúng nguyên tố cùng nhau ) và không thể cùng lẻ ( vì nếu x và y cùng lẻ thì z chẳn, khi đó x² + y² chia 4 dư 2 còn $z^2  \vdots 4$ ). Như vậy trong hai số x² và y² phải có một số chẵn và một số lẻ.

    Giả sử x lẻ, y chẵn thì z lẻ. Ta viết (3) dưới dạng:   $x^2  = \left( {z + y} \right)\left( {z - y} \right)$