BysLyl

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+5xy-4y^{2}=38\\ 5x^{2}-9xy-3y^{2}=15 \end{matrix}\right.$

Giải hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x^{4}+y^{2}=\frac{697}{81}\\ x^{2}+y^{2}+xy-3x-4y+4=0 \end{matrix}\right.$

TrườngTHCS Lâm Thao

Đề thi thử vào lớp 10 chuyên Toán năm học 2014-2015

Câu 1:

a) Tìm các số hữu tỉ $n$ để $n^{2}-n+13$ là số chính phương

b) Tìm nghiệm nguyên của pt $x^{2}+xy+y^{2}=2x+y$

Câu 2:

a) Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}=\frac{3}{2}$

Chứng minh: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$

b) Cho a là nghiệm của phương trình $x^{2}-6x+1=0$  . Tính $a^{5}+\frac{1}{a^{5}}$

Câu 3:

a) Giải phương trình: $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}=14x-3x^{2}+8$

b) Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ x+y=5-x^{2} \end{matrix}\right.$

Câu 4:Cho đường tròn $(O;R)$ có dây cung $AB=R\sqrt{2}$ cố định. Một điểm $P$ chạy trên đoạn $AB$. Dựng đường tròn $(C;R_1)$ đi qua $P$ và tiếp xúc $(O)$ tại $A$, đường tròn $(D;R_2)$ đi qua $P$ và tiếp xúc $(O)$ tại $B$. Hai đường tròn $(C)$ và $(D)$ cắt nhau tại điểm thứ hai $M$

a) Khi $P$ không trùng với trung điểm $AB$, chứng minh $OM$ song song với $CD$ và $O, M, C, D$ cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh khi $P$ chạy trên $AB$ thì đường thẳng $MP$ luôn đi qua điểm cố định $N$

c) Tìm vị trí $P$ để $PM.PN$ đạt giá trị lớn nhất? Diện tích tam giác $ABM$ lớn nhất

Câu 5: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $2ab+6bc+2ca=7abc$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{4c+a}+\frac{4bc}{b+c}$

Giải hệ phương trình với x;y dương: $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ 8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}=5 \end{matrix}\right.$

Cho a;b là các số thập phân 

Chứng minh: $A=\left [ 2a \right ]+\left [ 2b \right ]\geq \left [ a \right ]+\left [ b \right ]+\left [ a+b \right ]$

(Đề thi Ams-CVA một năm nào đó)