einstein627

em mới học pt hàm ai giúp em bài này với,giải bằng phương pháp lớp 10
$f:R\rightarrow R$
$f(x)=f(x+a)$

 

 

Câu 1 (5,0 điểm)

       Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm GTNN của: $$P=\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}$$

Nhìn đề em thấy mỗi bài 1 quen quen chắc còn phải cố gắng nhiều     
C3:
Xét số
$\frac{a}{b^2+c^2}=\frac{a}{3-a^2}$
Ta cần chứng minh
$\frac{a}{3-a^{2}}\geq\frac{a^{2}}{2}$
Thật vậy ta có
$\frac{a}{3-a^2}\geq \frac{a^2}{2}\Leftrightarrow a^4+2a\geq 3a^2$ (đúng theo bđt AM-GM cho 3 bộ $a^4;a;a$)
Tương tự ta có đpcm

Áp dụng trực tiếp AM-GM cho 3 số ta có 
$\sum \sqrt{\frac{a+b}{a+1}}\geq 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Ta cần cm
$\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+1)(b+1)(c+1)}}\geq 1$
Thật vậy ta có

$(a+b)(b+c)(c+a)= \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}.\sqrt[3]{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}\geq \sqrt[3]{8abc((a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2)}$
$=\prod \sqrt[3]{(a+a)(a+b)(a+c)}\geq \prod \sqrt[3]{(a+1)^3}=\prod (a+1)$ (ĐPCM)
Hình như có cách nhanh hơn nhưng thấy cách này đẹp

Cho a,b,c,d là các số dương.

Chứng minh: $ \huge \frac{a-b}{b+c} +\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\geq \frac{a-d}{a+b}$.

BDT cần cm tương đương vs
$\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\geq 0\Leftrightarrow \frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{a+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{b}{a+b}+\frac{d}{a+b}\geq 4$ (Đoạn này ko cần chia ra nhưng ngại nhân nên làm tn cho tiện)

$\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{c^2}{cb+c^2}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{d^2}{cd+d^2}+\frac{a^2}{a^2+da}+\frac{c^2}{ac+dc}+\frac{b^2}{ab+b^2}+\frac{d^2}{ad+bd}\geq 4$
Áp dụng BDT cauchy schawz ta có
$VT\geq\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}$

Vậy ta cần cm
$\frac{4(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 4$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+ac+cb+c^2+bc+bd+cd+d^2+a^2+da+ac+dc+ab+b^2+ad+bd}\geq 1$
Nhân chéo lên ta nhận đc kq luôn đúng ta có đpcm
Dấu đẳng thức sảy ra khi a=b=c=d
P/s để phông chữ nhỏ thôi 

CHo x,y > 1 

                    CM: $\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)} \geq 8$

Ta có
$\frac{(x^{3}+y^{3})-(x^{2}+y^{2})}{(x-1)(y-1)}=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có
$\frac{x^{2}}{y-1}\geq \frac{4x^{2}}{y^{2}}$
Tương tự
$\frac{y^{2}}{x-1}\geq \frac{4y^{2}}{x^{2}}$
Vậy suy ra
$\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}\geq \frac{4x^{2}}{y^{2}}+\frac{4y^{2}}{x^{2}} \geq 8(AM-GM)$
Ta có đpcm dấu đẳng thức sảy ra khi x=y=2

Bài 1 sai đề nhé tớ lấy đc phản ví dụ ngay nè
Vs $x=y=z=1$ thì $VT=3/2<2$ Vô lý
Có lẽ đề là tn 
$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{y+x}}> 2$

Giải:

$VT=\sum \frac{x}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \sum \frac{2x}{x+y+z}=2$
Dấu đẳng thức sảy ra khi x=y=z=0 vô lý vậy dấu đẳng thức ko sảy ra (DPCM)

cho abc=1 a,b,c>0 cmr $\sum \frac{1}{ab+a+2}\leq \frac{3}{4}$

Cách 2
$\sum (\frac{\frac{1}{9}}{1}+\frac{1}{a+ab+1})\geq \sum \frac{\frac{16}{9}}{a+ab+2}$

Mặt khác do abc=1 nên

$\sum \frac{1}{a+ab+1}=1$
Suy ra
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}+1= \frac{4}{3}\geq \sum \frac{\frac{16}{9}}{ab+a+2} \Leftrightarrow \frac{3}{4}\geq \sum \frac{1}{ab+a+2}$
Ta có DPCM

Sử dụng định lý Vi ét ta có
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=6 & & \\ x_{1}x_{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
Lại có
$\left\{\begin{matrix}x_{1}^{2}=6x_1-1 & & \\ x_{2}^{2}=6x_2-1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}^{m+2}=6x_1 ^{m+1}-x_1^m& & \\ x_{2}^{m+2}=6x_2 ^{m+1}-x_2^m & & \end{matrix}\right.$
Cộng 2 phương trình với nhau ta có
$x_1^{m+2}+x_2^{m+2}=6x_1^{m+1}+6x_2^{m+1}-x_1^m-x_{2}^m$
Đặt $S_{n}=x_{1}^n+x_{2}^n$
Vậy ta có công thức tổng quát
$S_{m+2}=6S_{m+1}-S_m$
Mà $S_1$ nguyên $S_2$ nguyên nên $S_3$ nguyên và cứ theo công thứ ta có $S_{n}$ nguyên
$x_1^{m+2}+x_2^{m+2}=6x_1^{m+1}+6x_2^{m+1}-x_1^m-x_{2}^m=5x_{1}^{m+1}+5x_{2}^{m+1}+x_{1}^{m+1}+x_{2}^{m+1}-x_1^m-x_{2}^m$
Vậy để $S_{m+2}$ chia hết cho 5 thì $S_{m+1}-S_{m}$ chia hết cho 5
Mặt khác
$x_1^{m+1}+x_{2}^{m+1}-x_{1}^m-x_{2}^m=6x_{1}^m+6x_{2}^m-x_{1}^{m-1}-x_{2}^{m-1}-x_{1}^m-x_{2}^m=5x_{1}^{m}+5x_{2}^m-x_{1}^{m-1}-x_{2}^{m-1}$
Vậy $S_{m+2}$ chia hết cho 5 khi $S_{m-1}$ chia hết cho 5
Cứ tiếp tục chạy như thế ta có $S_{m+2}$ chia hết cho 5 khi $S_{1}$ chia hết cho 5 nếu $m+2$ chia 3 dư 1
                                                 $S_{m+2}$ chia hết cho 5 khi $S_{2}$ chia hết cho 5 nếu $m+2$ chia 3 dư 2

                                                 $S_{m+2}$ chia hết cho 5 khi $S_{1}$ chia hết cho 5 nếu $m+2$ chia hết cho 3
Và  tất nhiên $S_1$ $S_2$ $S_3$ đều không chia hết cho 5 (dpcm)

P/s ai có cách khác ko, ngày xưa làm cứ cảm tưởng cách này ngu ngu thế nào ấy

Mình chỉ gợi ý thôi bạn tự làm nhé vì 2 bài này không khó
1, Sử dụng hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2,Sử dụng tính chất tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

Làm rõ thêm đi bạn

Đặt $\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+x+1}=b & & \\ \sqrt{x^{2}-x+1}=a & & \end{matrix}$
PTTT
$2a^{2}-b^{2}=\frac{-\sqrt{3}}{3}ab\Leftrightarrow 2a^{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}ab-b^{2}=0\Leftrightarrow 2\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{a}{b}-1=0$
Giải pt bậc 2 ẩn $\frac{a}{b}$ Ta có 
$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}} & & \\ \frac{a}{b}_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} & & \end{matrix}\right.$
Tất nhiên TH2 loại do $\frac{a}{b}>0$
Thay $\begin{matrix}\sqrt{x^{2}+x+1}=b & & \\ \sqrt{x^{2}-x+1}=a & & \end{matrix}$ 
Từ đó giải ra x

$a, n^{3}+3n^{2}+5n$ chia hết cho 3 $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Ta có $n^{3}+5n=n^{3}-n+6n$
Tương tự câu b ta có $n^3-n\vdots 3$.Suy ra  $n^{3}-n+6n=n^{3}+5n\vdots3$
Lại có $3n^{2}\vdots 3$
Suy ra
$n^{3}+3n^{2}+5n\vdots 3$ (dpcm)

$b, n^{3}+2n$ chia hết cho 3 $\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Câu a chị xem lại đề nhé
b,$n^{3}+2n=n^{3}-n+3n$
Ta có với mọi n nguyên dương $n^{3}-n\vdots 6$ do $n^{3}-n=n(n-1)(n+1)$ (tích của 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 6)
Mặt khác 3n luôn chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương
Suy ra $n^{3}-n+3n=n^{3}+2n\vdots3$ (dpcm)

Giải các phương trình sau:(PP đặt ẩn phụ)

b.+$4x^2+7x+1=2\sqrt{x+2}$

Bài này không cần đặt ẩn phụ cũng làm được còn đặt ẩn thì ntn
PT tương đương
$4x^{2}+7x+1=2\sqrt{x+2}\Leftrightarrow (x+2)+2\sqrt{x+2}-(4x^{2}+8x+3)=0$ $(x\geq -2)$

Đặt $\sqrt{x+2}$ là a ta phương trình trở thành
$a^{2}+2a-(4x^{2}+8x+3)=0$
Do 1 khác 0,xét $\bigtriangleup _{a}'=4x^{2}+8x+4=(2x+2)^{2}$
$\left\{\begin{matrix}a_{1}=-2-2x-2 & & \\ a_{2}=-2+2x+2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a_{1}=-2x-4 & & \\ a_{2}=2x & & \end{matrix}\right.$
từ đó suy ra x

Giải các phương trình sau:(PP đặt ẩn phụ)

a.$2(x^2+2)=5\sqrt{x^3+1}$

b.+$4x^2+7x+1=2\sqrt{x+2}$

Đặt 
$\begin{matrix}\sqrt{x^{2}-x+1}=b & & \\ \sqrt{x+1}=a & & \ \end{matrix}$
Phương trình trở thành
$2(a^{2}+b^{2})=5ab\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}-5ab=0$
Ta có: $b\neq 0 (x^{2}-x+1> 0)$
Chia cả 2 vế cho $b^2$ ta có
$2\frac{a^{2}}{b^{2}}-5\frac{a}{b}+2=0$
Đặt $t=\frac{a}{b}$ ta có 1 phương trình bậc 2 từ đó tìm ra $t$ rồi từ $t$ giải ra $x$

đoạn này biến đổi ntn?

Nhân tung dòng thứ 2 ra rồi chuyển vế thôi bạn ạ