9nho10mong

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$f\left(f\left(x-y\right)\right)=f\left(x\right)-f\left(y\right)+f\left(x\right)f\left(y\right)-xy, \;\;\forall x,y\in\mathbb{R} \quad{(1)}$$

 

 

Đặt $t=f(0)$.

Trong $(1)$ thay $x=y=0$ được

$$ f(f(0))=(f(0))^2 $$

Hay

$$f(t)=t^2 \quad{(2)}$$

Trong (1) thay $x=y=t$ và dùng $(2)$ được

$$ t^2= f(f(0))=t^4-t^2 \quad{(3)} $$

Trong (1) thay $x=t \ ; \ y=0$ được

$$ f(t^2)=t^3+t^2-t \quad{(4)} $$

Trong (1) thay $x=y=t^2$ và dùng $(4)$ được

$$ t^2= f(f(0))=(t^3+t^2-t)^2 - t^4 \quad{(5)} $$

Từ $(3)$ và $(5)$ ta có $t=0$ hay là $f(0)=0$.

Trong (1) thay $y=x$ được

$$  (f(x))^2=x^2 \ ; \ \forall x \in \mathbb{R}  $$

Như vậy $f(0)=0$ và $\forall x \neq 0 $ thì $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x \quad{(6)}$.

Giả sử có $a \neq 0$ để $f(a)=-a$.

Trong $(1)$ thay $x=0 \ ; \ y=-a$ được

$$ f(-a)= -f(-a) $$

Hay là

$$f(-a) = 0$$

Vì $a \neq 0 $ nên $-a \neq 0$, suy ra $0=f(-a)=-a$ hoặc $0=f(-a)=a$. Vô lý do $a \neq 0 $.

Vậy $ \forall a \neq 0$ thì $f(a) \neq -a \quad{(7)}$.

Từ $(6)$ và $(7)$ ta có nghiệm của bài toán là $ f(x) = x \forall x \in \mathbb{R}$.

Câu 4. Ký hiệu $\overparen{AB}$ chỉ số đo cung nhỏ $AB$.

 

Từ giả thiết đề bài có $ \overparen{A_1 A_2 } = \overparen{A_2 A_3} = ... = \overparen{A_{2n} A_1} = \left( \dfrac{180}{n} \right) ^{o}$.

 

Với $2 < k \le n+1$, đặt $\{ B \} = A_1 A_k \cap A_2 A_{k+n-1}$. Khi đó

$$ \widehat{A_1BA_2}= \dfrac{\overparen{A_1 A_2}+\overparen{A_k A_{k+n-1}}}{2} = \dfrac{\dfrac{180}{n} + \dfrac{180 \left( n-1 \right)}{n}}{2} = 90^{o}$$

Từ đó với mọi $2 < k \le n+1$, $ A_1 A_k$ luôn vuông góc với $A_2 A_{k+n-1}$.

Cho $a,b,c$ là các số thực dương
CMR: $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

 

Dùng Holder có

$$ \left( \sum \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right)^2 \cdot \left( \sum a \left( b+c \right) \right) \ge \left( a+b+c \right)^3   $$

Từ đó có

$$ \left( \sum \frac{a}{\sqrt{b+c}} \right)^2 \ge \frac{\left( a+b+c \right)^3}{2 \left( ab+bc+ca \right)} \ge \frac{3 \left( a+b+c \right)}{2} $$

Suy ra

$$ \sum \frac{a}{\sqrt{b+c}} \ge \sqrt{\frac{3 \left( a+b+c \right)}{2}}  $$

Đó là điều cần chứng minh.

Cho ba số a,b,c>0. CMR: 

$ \frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq 5 $

Trước hết dùng AM-GM có

$$ a^2+a^2+a^5 \ge 3 a^3 $$

Như vậy

$$ \text{VT} \ge  \frac{3 \left( a^3+b^3+c^3 \right) + \left( a^5+b^5+c^5 \right)}{a^3+b^3+c^3}+ \frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2} = 3 + \frac{ \left( a^5+b^5+c^5 \right)}{a^3+b^3+c^3}+ \frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2}$$

Cần chứng minh

$$ \frac{ a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3}+ \frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2} \ge 2 $$

Dùng Cauchy-Schwarz có

$$ \left( a^5+b^5+c^5 \right) \left( a+b+c \right) \ge \left( a^3+b^3+c^3 \right)^2 $$

Suy ra

$$  \frac{ a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3} \ge  \frac{ a^3+b^3+c^3}{a+b+c} $$

Lúc đó 

$$ \frac{ a^5+b^5+c^5}{a^3+b^3+c^3}+ \frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2} \ge \frac{ a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{9}{ \left( a+b+c \right)^2} \ge 2 \sqrt{\frac{ 9 \left(a^3+b^3+c^3 \right)}{ \left( a+b+c \right)^3}} \ge 2$$

Đó là điều cần chứng minh.

cho $a,b,c>0$ chứng minh răng $\sum \frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}} \geq \frac{3}{2}(\frac{\sum a^{3}}{\sum a^{2}})$

 

Ta có

$$ \sum \frac{a^3}{b^2+c^2} - \frac{3 \sum a^3}{2 \sum a^2} = \frac{  \sum \left( a+b \right) \left( a^6+ca^5+a^4 bc + 2 a^4b^2 + a^3b^2c+a^3b^3+a^3bc^2 + 2 a^2b^4 + a^2b^3c + a^2b^2c^2+ab^4c+ab^3c^2+b^6 + b^5c \right) \left( a-b \right)^2 }{2 \left( a^2+b^2+c^2 \right) \left( a^2+b^2 \right) \left( b^2+c^2 \right) \left( c^2+a^2 \right) } \ge 0 $$

Từ đó có điều cần chứng minh.