Đến nội dung

Hermione Granger

Hermione Granger

Đăng ký: 13-03-2014
Offline Đăng nhập: 09-04-2015 - 20:33
***--

#500531 $\boxed {\textbf{TOPIC}}$ Các đề ôn t...

Gửi bởi Hermione Granger trong 21-05-2014 - 17:31

 

 

$\boxed{\text{Đề 5}}$ Năm $2010$ ( Toán chuyên)

 

-----------------------------

 

Câu $1$: Cho phương trình 

 

$x^4+ ax^3 + x^2 + ax + 1 = 0$ với $a$ là tham số . 

 

 $1.$ Giải phương trình với $a = 1$. 

 $2.$ Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng $a^2>2$

 

 

$1.1$ Với $a=1$:

Phương trình trở thành $x^4+x^3+x^2+x+1=0 $(1)

Nhận thấy $x=0$ không phải là 1 nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của (1) cho $x^2$ ta được:

$x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0$

Đặt $y=x+\frac{1}{x} \Rightarrow \left |y  \right |\geq 2$

$\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=y^2-2$

Phương trình (2) trở thành:

$y^2+y-1=0$

Giải ra ta được 2 giá trị của y:

$y_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$    (ko TM)
$y_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$   (ko TM)
$\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm với $a=1$
$1.2$
$x=0 $không phải là nghiệm của phương trình.
Chi cả 2 vế của phương trình cho $x^2$ ta được :
$x^2+\frac{1}{x^2}+a\left ( x+\frac{1}{x} \right )+1=0$
Đặt $y=x+\frac{1}{x} $
Phương trình trở thành
$y^2+ay-1=0 (*) $
Phương trình đã cho có nghiệm $\Leftrightarrow $ Phương trình $(*)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left | y \right |\geq 2$
$\Rightarrow a=\frac{1-t^2}{t}$
Ta có $a^2>2\Leftrightarrow \left (\frac{1-t^2}{t}  \right )^2>2 \Leftrightarrow t^2(t^2-4)+1>0 $( đúng, do$ \left | t \right |\geq 2$)
Vậy$a^2>2$
 
_________________________________________________

 

Dài hơi quá  >:)  :lol:

 

Viet Hoang 99:
Chú ý

 




#500453 $\boxed {\textbf{TOPIC}}$ Các đề ôn t...

Gửi bởi Hermione Granger trong 21-05-2014 - 09:57

 

Bài $3$:

 

Cho mười số nguyên dương $1,2,...,10$. Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được mười tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.

 

 

 

Gọi $10 $số nguyên dương sắp xếp theo thứ tự trong hàng là : $a_{1},a_{2},...,a_{10}$

Ta có $10$ tổng:

$b_{1}=a_{1}+1$

$b_{2}=a_{2}+2$

$.....$

$b_{10}=a_{10}+10$

Khi đó $ b_{1}+b_{2}+...+b_{10} =110 $ là một số chẵn

$\Rightarrow $ Trong các số $b_{1}, b_{2},...,b_{10}$ có số số lẻ là một số chẵn

+Nếu số các số lẻ nhiều hơn $5$ 

Do các số lẻ chỉ có thể có tận cùng là $1,3,5,7 $ hoặc$,9$ nên có ít nhất $ 2 $ số lẻ có chữ số tận cùng giống nhau.

+Nếu số các số lẻ ít hơn $5 $

$\Rightarrow $ Số các số chẵn nhiều hơn 5, do các số chẵn chỉ có thể có tận cùng là $0,2,4,6$ hoặc $8$ nên có ít nhất $2$ số chẵn có chữ số tận cùng giống nhau.

$\Rightarrow  dpcm$




#500190 $\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}...

Gửi bởi Hermione Granger trong 19-05-2014 - 22:31

$A=\sum \frac{a^2}{1+2bc}=\sum \frac{a^4}{a^2+2a^2bc}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2+2abc(a+b+c)}=\frac{1}{1+2abc(a+b+c)}$

Mà $abc\leq \frac{(a+b+c)^3}{27}\Rightarrow abc(a+b+c)\leq \frac{(a+b+c)^4}{27}\leq \frac{9(a^2+b^2+c^2)^2}{27}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow A\leq \frac{1}{1+2.\frac{1}{3}}=\frac{3}{5}$

Ngược dấu rồi bạn ơi  :excl:




#500182 Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh lớp 10 năm học 2013 - 2014

Gửi bởi Hermione Granger trong 19-05-2014 - 22:15

1a) ĐK   $ x\geq \frac{1}{2} $

$8x^{2}-x-4=3\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow 16x^{2}-2x-8=6\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow 16x^{2}-\left ( \sqrt{2x-1} +3\right )^{2}=0$

$\Leftrightarrow \left ( 4x-\sqrt{2x-1} -3\right )\left ( 4x+\sqrt{2x-1} +3\right )=0$

$\Leftrightarrow 4x-\sqrt{2x-1} -3=0$

$\Leftrightarrow 4x -3=\sqrt{2x-1}$ (1)

Với  $x \geq \frac{3}{4} $

Bình phương 2 vế của (1)

$\Rightarrow x=1( TM )$




#500105 Đề thi học sinh giỏi toán 10 tỉnh Đồng nai năm học 2013 - 2014

Gửi bởi Hermione Granger trong 19-05-2014 - 17:51

Câu 1 : $\sqrt{x^{2}+x+2}+\sqrt{x^{2}-x+1}=2x+1$

Đặt $\sqrt{x^{2}+x+2}=a, \sqrt{x^{2}-x+1}=b\left ( a,b> 0 \right )$ 

Phương trình trở thành:
$a+b=a^{2}-b^{2}$
$\Leftrightarrow \left ( a+b \right )\left ( a-b-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow a-b=1$ ( vì $a,b> 0 $)
$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+x+2}=\sqrt{x^{2}-x+1}+1$
$\Leftrightarrow x=1$



#499765 Tính giá trị biểu thức $P$ với:

Gửi bởi Hermione Granger trong 18-05-2014 - 09:52

Đặt $ \sqrt{2009}-\sqrt{2008}=a , \sqrt{2008}-\sqrt{2007}=b$

Khi đó $x=\frac{b-2a}{a}$

$P=a.\frac{\left (b-2a  \right )^{2}}{a^{2}}-b.\frac{b-2a}{a}+6\sqrt{2008}-2\sqrt{2007}$

  $= \frac{\left (b-2a  \right )^{2}}{a}-\frac{b\left ( b-2a \right )}{a}+6\sqrt{2008}-2\sqrt{2007}$

  $=4a-2b+6\sqrt{2008}-2\sqrt{2007}$

  $=4\sqrt{2009}-4\sqrt{2008}-2\sqrt{2008}+2\sqrt{2007}+6\sqrt{2008}-2\sqrt{2007}$

  $=4\sqrt{2009}$

_________________________________________

Không biết có đúng không ?




#497731 $4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14$

Gửi bởi Hermione Granger trong 07-05-2014 - 22:18

Giải pt:
$4\sqrt{x+1}=x^2-5x+14$

 

Chú ý: Tiêu đề giống bài toán, 

Chú ý: $\LaTeX$, kẹp $ vào 2 đầu của công thức toán

 

 

Viet Hoang 99:

Tham khảo tại đây

ĐK $x\geq -1$
 
$4\sqrt{x+1}=x^{2}-5x+14$
 
$\Leftrightarrow \left (x^{2}-6x+9   \right )+\left (x+1 -4\sqrt{x+1}+4  \right )=0$
 
$\Leftrightarrow \left ( x-3 \right )^{2}+\left ( \sqrt{x+1} -2\right )^{2}=0$
 
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-3=0 & \\ \sqrt{x+1} -2=0 & \end{matrix}\right.$
 
$\Leftrightarrow x=3 ( TM ) $



#497373 $A = -x + \sqrt{x-2} + 2\sqrt{x+1} + 10$

Gửi bởi Hermione Granger trong 05-05-2014 - 22:15

 

 

Bài 3: Tìm $max A = -x + \sqrt{x-2} + 2\sqrt{x+1} + 10$

 

 

ĐK : $x\geq 2$
$2A=-2x+2\sqrt{x-2}+4\sqrt{x+1}+20$
$  = 24 -\left ( x-2-2\sqrt{x-2}+1\right )-\left ( x+1-4\sqrt{x+1}+4 \right )$
  $= 24 -\left ( \sqrt{x-2} -1\right )^{2}-\left ( \sqrt{x+1} -1\right )^{2}\leq 24$
$\Rightarrow A\leq 12$
Dấu''$=$'' xảy ra$ \Leftrightarrow x=3 ( TM ) $



#497368 Góp ý cho ĐHV THCS

Gửi bởi Hermione Granger trong 05-05-2014 - 22:07

Đây chỉ là ý kiến cá nhân của mình thôi nhưng mình thấy hình như các bạn ĐHV THCS hoạt động nhiều hơn ở box BĐT và Đại số còn Hình học thì không được bằng. Rất mong các bạn chú ý nhiều hơn đến box này  :icon6:




#497362 $\prod (a+2)\geq 8\prod (2-a)$

Gửi bởi Hermione Granger trong 05-05-2014 - 21:56

$a+2=2a+b+c=\left ( a+b \right )+\left ( a+c \right )\geq 2\sqrt{\left ( a+b \right )\left ( a+c \right )}=2\sqrt{\left ( 2-c \right )\left ( 2-b \right )}$

Tương tự : $.....$

Nhân vế theo vế các bdt $\Rightarrow dpcm$




#497245 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi Hermione Granger trong 05-05-2014 - 12:18

 

 

2/$\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\geq a+b+c$

Với a,b,c>0

 

$\frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq \frac{ab\left ( a+b \right )}{2ab}= \frac{a+b}{2}$

Tương tự$ \frac{b^{3}+c^{3}}{2bc}\geq \frac{bc\left ( c+b \right )}{2bc}= \frac{b+c}{2}$

                               $..............$

$\Rightarrow dpcm$




#497128 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi Hermione Granger trong 04-05-2014 - 20:39

Bài 160 : Cho a,b,c > $\frac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$ .CMR:
$\sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

Áp dụng bdt $Cauchy$, ta có :

$\sum  \frac{a}{a^{2}+1}=\sum \frac{a}{a^{2}+\frac{1}{9}+\frac{8}{9}}\leq  \sum \frac{a}{\frac{2a}{3}+\frac{8}{9}}$

                    $  = \sum \frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\sum \frac{6}{4+3a}\leq \frac{9}{2}-\sum \frac{54}{12+\left ( a+b+c \right )}=\frac{9}{10}$




#495971 CMR : $\sum \frac{ x^{2}+y^{2}}...

Gửi bởi Hermione Granger trong 29-04-2014 - 20:50

Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:

$\frac{ x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{ y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{ z^{2}+x^{2}}{z+x}\geq \sqrt{3\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}\right )}$




#495861 Rút gọn $B=\frac{3-\sqrt{6+\sqrt{3+\s...

Gửi bởi Hermione Granger trong 29-04-2014 - 11:32

Nhân cả 2 vế của $\frac{3-\sqrt{6+\sqrt{3+\sqrt{6+\sqrt{3}}}}}{3-\sqrt{3+\sqrt{6+\sqrt{3}}}}$ với $\left (3+\sqrt{6+\sqrt{3+\sqrt{6+\sqrt{3}}}}  \right )$ rồi rút gọn, ta được

 

$\frac{1}{3+\sqrt{6+\sqrt{3+\sqrt{6+\sqrt{3}}}}}$

 

Đặt $3+\sqrt{6+\sqrt{3+\sqrt{6+\sqrt{3}}}} =a \left ( a>0 \right )$

 

Khi đó $ B=\frac{1}{a}+\frac{a-1}{a}=1$

 

Vậy $B=1$




#495852 Chứng minh rằng: $apq+bqr+crp \leq 0$

Gửi bởi Hermione Granger trong 29-04-2014 - 10:52

Lời Giải: 

$apq+bqr+crp \leq 0\Leftrightarrow p(aq+cr)+bqr\leq 0$       $ (1) $ 

Từ điều kiện $p+q+r =0$, ta có: $-p=q+r$. Thế thì $(1)\Leftrightarrow (q+r)(aq+cr)\geq bqr$

 

$\Leftrightarrow aq^{2}+cqr+aqr+cr^{2}\geq bqr$ 

 

$\Leftrightarrow qr(a+c-b)+aq^{2}+cr^{2}\geq 0$           

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}q+\sqrt{c}r)^{2}-2\sqrt{ac}qr+qr(a+c-b)\geq 0$  

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng: $qr(a+c-b)\geq 2\sqrt{ac}qr$ $\Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

 

Chú ý rằng với giả thiết $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2\left ( ab+bc+ca \right )$ 

 

thì: $(a+c-b)^{2}-4ac\leq 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

Bất Đẳng Thức được chứng minh xong     - - - - - - Solution By Nhân Chính 
 

Nếu $qr \leq  0$ thì sao nhỉ ?