Algebra

 

Spoiler

đáp án của bộ ,còn cách nữa mà lười trình bày 

 

U-Th

bạn có đáp án của bộ thì up lên cho mọi người xem với

 

$\frac{a}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}\geq \frac{\sqrt{a^3b}}{2}$

Làm tương tự ta có:

$VT\geq a+b+c-\frac{\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}}{2}$

Ta có BĐT quen thuộc là:$3(a^3b+b^3c+c^3a)\leq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \sum \sqrt{a^3b}\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=3$

Vậy ta có đpcm dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

 

giải thích giúp mình bđt này đi bạn

Cho x,y,z>0 và $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1 . \\ CMR: \frac{x^{2}+yz}{\sqrt{2x^{2}(y+z)}}+\frac{y^{2}+zx}{\sqrt{2y^{2}(z+x)}}+\frac{z^{2}+xy}{\sqrt{2z^{2}(x+y)}}\geq 1.$

$\frac{x^{2}+yz}{\sqrt{2x^{2}(y+z)}}+\frac{y^{2}+zx}{\sqrt{2y^{2}(z+x)}}+\frac{z^{2}+xy}{\sqrt{2z^{2}(x+y)}}= \frac{1}{\sqrt{2}}(\sum \frac{x}{\sqrt{y+z}}+\sum \frac{yz}{x\sqrt{y+z}})$

$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}}{\sum \sqrt{x+y}}+\frac{1}{xyz}(\sum \frac{y^{2}z^{2}}{\sqrt{y+z}}))\geq \frac{1}{\sqrt{6(x+y+z)}}+\frac{(xy+yz+zx)^{2}}{xyz\sqrt{6(x+y+z)}}\geq \frac{1}{\sqrt{6(x+y+z)}}+\frac{3xyz(x+y+z)}{xyz\sqrt{6(x+y+z)}}= \frac{1}{\sqrt{6(x+y+z)}}+\sqrt{\frac{3(x+y+z)}{2}}\geq 1$

Cho a,b,c dương và $ab+bc+ca=3$, CMR:$\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ca}+\frac{c}{2c^2+ab} \geq abc$

$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{1}{2a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{9}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(a+b+c)}=\frac{9}{(ab+bc+ca)^{2}}=1$

Cho $a,b,c>0$. CMR:$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)} \geq \frac{3}{2}$

$\frac{a^2}{b(b+c)}+\frac{b^2}{c(c+a)}+\frac{c^2}{a(a+b)}=\frac{a^4}{a^{2}b(b+c)}+\frac{b^4}{b^{2}c(c+a)}+\frac{c^4}{c^{2}a(a+b)}$

$\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc(a+b+c)}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}= \frac{3}{2}$