Đến nội dung


dance

Đăng ký: 25-04-2014
Offline Đăng nhập: 12-05-2021 - 21:58
-----

#531028 $3(x^2-x+1)(y^2-y+1) \ge 2(x^2y^2-xy+1)$

Gửi bởi dance trong 29-10-2014 - 10:07

Đây là câu nằm trong đề thi chọn đội tuyển quốc gia tỉnh Quảng Trị 2014-2015

 

$3(x^2-x+1)(y^2-y+1) \ge 2(x^2y^2-xy+1) \ \ \forall x,y \in \mathbb{R}$

 

Dấu bằng xảy ra khi nào?

 

Mình làm theo kiểu đưa về phương trình bậc 2 ẩn x rồi tìm $\Delta $ nhưng dấu bằng không xảy ra

=)))

 

Ta thấy
$$ 3 \left( x^2-x+1 \right) \left( y^2-y+1 \right) -2 \left( x^2y^2 -xy+1 \right) = \\
\left( y^2-3y+3 \right) \left[ \left( x+\frac{5y-3y^2-3}{2y^2-6y+6} \right)^2 +\frac{3 \left( y^2-3y+1 \right)^2}{ 4 \left( y^2-3y+3 \right)^2} \right] \ge 0  $$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
$$ \left( x,y \right) = \left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right) \ ; \ \left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)  $$

 

Nguồn: vuive_yeudoi




#529587 x3-y3-4xy+1=0

Gửi bởi dance trong 19-10-2014 - 20:19

Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên
x3-y3-4xy+1=0

Bài 2: Giải phương trình

$\sqrt{5x^{2}+14x+9} - \sqrt{x^{2}-x-20} = 5\sqrt{x+1}$

1/

 

Ép về còn x-y với xy . Đặt ẩn phụ x-y = a ; xy =b

 

Rồi  giải = pp ước sô là xong




#529584 $x(2x+3)=2+\sqrt{1-x}$

Gửi bởi dance trong 19-10-2014 - 20:15

Giải pt:

$$x(2x+3)=2+\sqrt{1-x}$$

 

 

:3

 

Đặt $\sqrt{1-x} = t$

 

PT viết lại :

 

$2t^2 - t +2x^2+5x-4=0$

 

Viết đen-ta theo ẩn t ......xong




#525857 $\sum \frac{1}{h_ah_b} \geq \sum...

Gửi bởi dance trong 23-09-2014 - 18:06

 

1)
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng:
a, $AB^2+BC^2+CD^2 \geq DA^2$
b, $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 \geq AC^2+BD^2$
 
2)
Cho tam giác $ABC$ có $l_a,l_b,l_c$ là độ dài các đường phân giác trong, $h_a,h_b,h_c$ là độ dài 3 đường cao
CMR:
$$\frac{1}{h_ah_b}+\frac{1}{h_bh_c}+\frac{1}{h_ch_a} \geq \frac{1}{l_a^2}+\frac{1}{l_b^2}+\frac{1}{l_c^2}$$

 

Nhác và ngại latex nên hướng dẫn thôi :D

 

2/

 

$\sum \dfrac{1}{h_ah_b} = \dfrac{ab+bc+ca}{4S^2}$ 

 

$l_a = .....=\dfrac{2S}{(b+c). sin{ \dfrac{A}{2} }}$

 

bp lên đc $\dfrac{1}{l_a^2} = \dfrac{(b+c)^2-(b+c)^2. cosA}{8S^2}$

 

Tg tự.... , và xài thêm cái cos A  = $\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ và $(b+c)^2$  > = 4bc

 

Nên , nhân các bđt , vê theo vế .....

 

Cuối cùng biến đổi tùm lum đc

 

$\dfrac{1}{l_a^2}$ < = $\dfrac{2b^2+2ca-a^2-c^2}{8S^2}$

 

Tg tự với $l_b,l_c$..........

 

Cộng cả đống trên lại đc

 

$\sum \dfrac{1}{l_a^2}$  < =  \$dfrac{ab+bc+ca}{4S^2}$ = $\sum \dfrac{1}{h_a.h_b}$

 

  :D .




#525278 CM:$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_...

Gửi bởi dance trong 19-09-2014 - 22:45

Chứng minh bài toán tổng quát sau

Cho hình $n-$ giác đều $AA_{1}A_{2}...A_{n}$ tâm $O$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+...+\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0}$

Cách 2 :

 

Gọi $\vec{OA} = \sum{\vec{OA_i}}$ (cái tổng hoán vị chạy từ 1--> n)

 

Nhận xét rằng khi quay đa giác  1 góc = $\dfrac{2.pi}{n}$ thì:

 

+Đa giác ko đổi nên $\vec{OA} = \sum{\vec{OA_i}}$ (cái tổng hoán vị chạy từ 1--> n)

 

+Vector $\vec{OA}$ sẽ bị quay theo cùng chiều 1 góc $\dfrac{2.pi}{n}$

 

Suy ra $\vec{OA}$ có hướng tùy ý $\iff$ $\vec{OA}=\vec{0}$ , đpcm




#525184 Cmr: $\sum \frac{a}{a+b}<\sum...

Gửi bởi dance trong 19-09-2014 - 10:09

Cho $a;b;c>0$. Cmr: $$\sum \frac{a}{a+b}<\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}$$

Bà Vân có làm ở đây rồi :D

 

http://diendan.hocma...06#post.2646006

 

P/s: eye_smile cũng ở Thái Thụy, Thái Bình đó, 2 bạn là đồng hương =))




#523711 Tìm $max$ $$P=\frac{1}{a^2+b^2+2...

Gửi bởi dance trong 09-09-2014 - 23:01

Cho $a,b,c>0;ab+bc+ca=3$ . Tìm $max$ $$P=\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}$$

 

Cái mẫu thứ nhất, Cauchy đc:

 

$(a^2+1) + (b^2+1)$ $\ge$ $2(a+b)$

 

Suy ra: $\frac{1}{a^2+b^2+2}$ be.gif  $\dfrac{1}{2(a+b)}$

 

Tương tự đc P  be.gif $\dfrac{1}{2(a+b)} + \dfrac{1}{2(b+c)} +\dfrac{1}{2(c+a)}$

 

Nên: 8P  be.gif $\dfrac{4}{a+b} + \dfrac{4}{b+c} +\dfrac{4}{c+a}$ be.gif $2.(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

 

Mặt khác thì dễ thấy:

 

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$   be.gif  $ab+bc+ca$

 

(c/m = tương đương)

 

Do đó P max = $\dfrac{3}{4}$

 

Dấu "=" tại a=b=c=1




#519324 bài 1: Giải các pt sau: a/ $2x-5\sqrt{x}+2=0$ b/...

Gửi bởi dance trong 13-08-2014 - 18:27

bài 1: Giải các pt sau:

a/ $2x-5\sqrt{x}+2=0$

 

b/ $2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=4$

 

c/ $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x(x+1)}$

 

d/ $x+ 2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1$

 

Bài 2 : Giải pt:

 

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}=1$

 

Bài 3: Cho biểu thức $P=(1+\frac{\sqrt{x}}{x+1}) :(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1})$

 

a/ Tìm x để $P$ có nghĩa

b/ Tìm $x\epsilon \mathbb{Z}$ để $Q=P-\sqrt{x}$ nhận giá trị nguyên

 

Bài 4: Cho biểu thức: $P= (\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}).(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2})^2$

 

a/ Rút gọn $P$

b/ Tìm các giá trị của $x$ để $\frac{P}{\sqrt{x}}>2$

Cái này đơn giản nên mình hướng dẫn thôi nhé ;)

 

1/

 

a. Đặt $\sqrt{x} = t$ ( t lớn hơn = 0) thì PT trở thành: $2x^2-5x+2=0$

 

Cái này viết đen-ta...........

 

b. $2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+1}=4$

 

Chú ý là $x+2+2\sqrt{x+1} = x+1+2\sqrt{x+1} + 1 = (\sqrt{x+1}+1)^2$

 

<=> ......................

 

c. $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=1+\sqrt{x(x+1)}$

 

Có dạng: a+b=1+ab <=> (a-1)(1-b) = 0

 

d. $x+ 2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1$

 

Nhận thấy $-x^2+8x-7=(7-x)(x-1)$

 

PT đã cho viết lại :  $x-1+ 2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}$ (*)

 

Đặt $\sqrt{x-1} =a$ ; $\sqrt{7-x} = b$

 

Pt (*) tương đương: $a^2+2b=2a+ab$

 

<=> (a-b)(a-2) = 0

 

<=> ..............

 

2/

 

$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+3}}=1$

 

chú ý: $\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x+2}}$

 

Tương tự, lược bỏ .....

 

3/  ko đọc đc đề

 

4, Dạng rút gọn cơ bản, bạn có thể tự làm. OK ? :))




#518792 Giải phương trình $x^3+3x^2+2x-1=0$

Gửi bởi dance trong 10-08-2014 - 14:03

Đặt $a=\sqrt{x^2-2x+3}$
$$PT \Leftrightarrow (x+1)a=a^2+2x-2$$

$$\Leftrightarrow a^2-a(x+1)+2x-2=0$$

$$\Leftrightarrow (a-2)(a+2)-(x+1)(a-2)=0$$
$$\Leftrightarrow (a-2)(a-x+1)=0$$

Sai ngay bước thứ 2 rồi

 

$a^2+2x-2 = x^2-2x+3+2x-2= x^2+1$




#518381 Đề thi vào lớp 10 chuyên Tiền Giang (chuyên Tin)

Gửi bởi dance trong 08-08-2014 - 11:06

Ta sẽ chứng minh $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$
Theo AM-GM ta có $$6\sqrt{ab}\le 3.(\frac{a}{2}+2b)$$
$$6\sqrt[3]{abc} \le 2(\frac{a}{4}+b+4c)$$
$$\Rightarrow a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc} \le \frac{4}{3}(a+b+c)$$

Thiếu dấu "=" tại x = 16:21 ; y =4:21 ; z= 1:21

Cách khác: http://diendan.hocma...065&postcount=3




#517079 tính giá trị các biểu thức: a/ $A= sin^2 15^o +sin^2 40^o+ sin^2 60^o +...

Gửi bởi dance trong 02-08-2014 - 10:11

tính giá trị các biểu thức:

a/ $A= sin^2 15^o +sin^2 40^o+ sin^2 60^o + sin^2 75^o + sin^2 50^o + sin^2 30^o$

 

b/ $B= tan5^o tan10^o....tan85^o$

 

c/ $C= cos^2 15^o -cos^2 25^o + cos^2 35^o -cos^2 45^o -cos^2 65^o +cos^2 75^o$

$A= sin^2 15^o +sin^2 40^o+ sin^2 60^o + sin^2 75^o + sin^2 50^o + sin^2 30^o$

 

= $<sin^2 15^o +sin^2 75^o>+< sin^2 60^o + sin^2 30^o> + <sin^2 50^o + sin^2 40^o>$

 

= $<sin^2 15^o +cOS^2 15^o>+< sin^2 60^o + cOS^2 60^o> + <sin^2 50^o + cOS^2 50^o>$

 

= 3




#514638 Chuyên đề số học của diễn đàn VMF

Gửi bởi dance trong 22-07-2014 - 19:01

Đây mới là phiên bản 1 chưa hoàn thiện lắm đâu ;)
P/s: Mèn đét ơi, lên 62 rùi !!! :blink:

Khi nào mới có bản hoàn thiện vậy bạn ?

 

Hay là nếu các Ban biên tập viên up bản hoàn thiện hơn thì mình xin có ý kiến là để 1 File PDF riêng và bổ sung thôi :)) chứ đừng làm lại nguyên quyển sách in đúc mà chỉ sửa lại từng phần nhỏ thì tốn công dowload lên dowload xuống :\

 

Cảm ơn VMF, rất hay và ý nghĩa ;)




#513121 Tìm P để |$ \vec{PA}$ + $ \vec{PB...

Gửi bởi dance trong 16-07-2014 - 10:55

Cho tam giác ABC và đường thẳng d

 

a) Tìm P để |$ \vec{PA}$ + $ \vec{PB}$ + $ \vec{PC}$ | min

 

b) Tìm N thuộc AC để | $ \vec{NB}$ + $ \vec{NC}$ | min 

 

c) Tìm M thuộc d để |$ \vec{MA}$ + $ \vec{MB}$ - $3. \vec{MC}$ | min




#512914 CM:$BC.\overrightarrow{IA}+AC.\overrightarrow{I...

Gửi bởi dance trong 15-07-2014 - 11:10

Cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

CM:$BC.\overrightarrow{IA}+AC.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

 

 

Bài này nghĩ đc 4 cách nhưng mà post cách ngắn nhất thôi   :)) ,

 

 

 

 

Qua C, vẽ 2 đường thẳng // với 2 đường phân giác AI,BI tạo thành hình bình hành IECF

 

Xét tam giác BDI và tam giác CDF đồng dạng

 

==> IB : CF = BD:DC = AB:AC ( t/c phân giác..)

 

==> $ \vec{CF}$ = $\frac{AC}{AB}$ . $\vec{IB}$

 

Tg tự cũng tính đc $ \vec{CE}$ = $\frac{BC}{AB}$ .$ \vec{IA}$

 

Theo quy tắc hình bình hành có

 

$\vec{CF} + \overrightarrow{CE}$ = $\overrightarrow{CI}$

 

Thay trên vào

 

==> Đpcm

 

 

p/s: Latex khùng rồi, mod VMF sửa giúp :( .. >.< 

 

forum_




#495063 $\sqrt {x - 2} + \sqrt {4 - x} = 2{...

Gửi bởi dance trong 25-04-2014 - 15:50

Giải pt:

 

$\sqrt {x - 2}  + \sqrt {4 - x}  = 2{x^2} - 5x - 1$