chardhdmovies

Cho $229$ học sinh nam và $271$ học sinh nữ được chia thành $10$ nhóm,mỗi nhóm gồm $50$ người được đánh số từ $1$ đến $50$.Người ta muốn chọn ra một nhóm $4$ học sinh trong đó số học sinh nữ được chọn là số lẻ và thỏa mãn điều kiện sau:$4$ người này được chọn từ $2$ nhóm và có $2$ cặp học sinh có cùng số thứ tự,Chứng minh rằng số cách chọn các nhóm như thế là số lẻ

Cho đa giác đều $n$ đỉnh nội tiếp đường tròn tâm $O$, tìm số cách tô $n$ đỉnh tam giác bằng $m (m\geq2)$ màu sao cho 2 đỉnh kề nhau không được tô cùng màu. (Hai cách tô được coi là giống nhau nếu chúng nhận được qua nhau bằng một phép quay tâm $O$)

Cho $n$ là số tự nhiên. Kí hiệu $\left [ n \right ]$ là số nguyên lớn nhất không lớn hơn $n$. Chứng minh:
$\left [ \frac{n}{3} \right ]+\left [ \frac{n}{35} \right ]\geq \left [ \frac{n}{5} \right ]+\left [ \frac{n}{7} \right ]$

Cho hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liên tục và khác hàm hằng thỏa:

$f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2, \forall x \in \mathbb{R}$

Chứng minh: $f(x)\neq 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Cho hai đường tròn $(O_1),(O_2)$ cắt nhau tại hai điểm $M,N$. Qua $A$ thuộc $(O_1)$ kẻ các đường thẳng $AM,AN$, lần lượt cắt $(O_2)$ tại $B, C$. Qua $D$ thuộc $(O_2)$ kẻ các đường thẳng $DM,DN$, lần lượt cắt $(O_1)$ tại $E, F$. Các điểm $A,E,F$ cùng nằm về một phía đối với đường thẳng $MN$, các điểm $D,B,C$ cùng nằm về phía khác. Chứng minh nếu $AB=DE$ thì 4 điểm $A,F,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn có tâm không phụ thuộc vào vị trí của $A$ và $D$.

P/s: Mình nghĩ tâm là giao điểm của $(O_{1}O_{2}M)$ và đường vuông góc với $MN$ tại $M$.