mylinh998

Phần I. Các công thức lượng giác cơ bản và mở rộng.

(Để tìm hiểu hoặc tra lại khi cần thiết)

 

1. Công thức lượng giác cơ bản

 

$\sin^2 a+\cos^2 a=1$

 

$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}$

 

$\cot a=\frac{\cos a}{\sin a}$

 

$1+\tan^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}$

 

$1+\cot^2 a=\frac{1}{\sin^2 a}$

 

$\tan a\cot a=1$

 

2. Công thức cộng

 

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

 

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

 

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$

 

$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$

 

$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

 

$\tan (a-b)=\frac{\tan c-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

 

3. Công thức nhân đôi

 

$\sin 2a=2\sin a\cos a$

 

$\cos 2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$

 

$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-\tan^2a}(a\neq\frac{\pi}{4}+2k\pi)$

 

$\cot 2a=\frac{\cot^2a-1}{2\cot a}(a\neq k\frac{\pi}{2})$

 

4. Công thức nhân ba

 

$\sin 3a=3\sin a-4\sin^3 a$

 

$\cos 3a=4\cos^3a-3\cos a$

 

$\tan 3a=\frac{3\tan a-\tan^3a}{1-3\tan^2a}(a\neq\frac{\pi}{6}+2k\pi)$

 

$\cot 3a=\frac{3\cot^2a-1}{\cot^3 a-3\cot a}(a\neq k\frac{\pi}{3})$

 

5. Công thức biến đổi tích thành tổng

 

$\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$

 

$\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$

 

$\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$
 

Câu 3. Câu này làm tương tự câu 1

 

$b(b^2-a^2)=c(a^2-c^2)\Rightarrow b^3-a^2b=a^2c-c^3$

 

$\Rightarrow b^3+c^3=a^2(b+c)$

 

$\Rightarrow a^2=b^2+c^2-bc$

 

$\Rightarrow b^2+c^2-a^2=bc$

 

$\Rightarrow 2bcCosA=bc$

 

$\Rightarrow CosA=\frac{1}{2}$

 

$\Rightarrow \widehat A=60^o$

Câu 2:

Áp dụng định lí sincho tam giác ABC ta được:

 

$c = c.cos2B + b.sin2B \Rightarrow sinC=sinC.Cos2B+sinB.sin2B$

$\Rightarrow sinC=sinC(1-2sin^2 B)+2sin^2 BcosB$

$\Rightarrow 2sinCsin^2B=2sin^2BcosB$

 

$\Rightarrow sinC=cosB$     ($sinB\neq 0$)

 

$\Rightarrow B+C=\frac{\pi}{2}$

 

Do đó, tam giác ABC vuông tại A

MÌNH GỬI MỖI LẦN 1 BÀI NHÉ, TẠI MÌNH GIẢI +GỬI LẦN LƯỢT, VỚI LẠI NHƯ VẬY CHO DỄ ĐỌC.

 

Câu 1.

 

$(2)\leftrightarrow a^3-a^2(b+c)=a^3-b^3+c^3$

 

$\leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc$

 

$\leftrightarrow b^2+c^2-a^2=bc$

 

$\leftrightarrow 2bcCosA=bc$

 

$\leftrightarrow CosA=\frac{1}{2}$

 

$\leftrightarrow \angle A=\frac{\pi}{3}$

 

Khi đó:

 

$(1)\leftrightarrow CosB=\frac{1}{2}\leftrightarrow \angle B=\frac{\pi}{3}$

 

Vậy, tam giác ABC đều.

Câu 2: Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu $c = c.Cos2B + b.Sin2B$

 

Lời giải:

Áp dụng định lí sincho tam giác ABC ta được:

 

 

$c = c.cos2B + b.sin2B \Rightarrow sinC=sinC.Cos2B+sinB.sin2B$

$\Rightarrow sinC=sinC(1-2sin^2 B)+2sin^2 BcosB$

$\Rightarrow 2sinCsin^2B=2sin^2BcosB$

 

$\Rightarrow sinC=cosB$     ($sinB\neq 0$)

 

$\Rightarrow B+C=\frac{\pi}{2}$

 

Do đó, tam giác ABC vuông tại A

Mình vào xem bài này thì thấy bị khóa hông có trả lời được nên đành đăng thế này vậy

 

http://diendantoanho...ác-abc-đều-khi/

 

Câu 1. CMR tam giác ABC đều biết

$\left\{\begin{matrix}
CosA.CosB=\frac{1}{4}(1)\\a^2=\frac{a^3-b^3-c^3}{a-b-c}(2)

\end{matrix}\right.$

Lời giải:

 

$(2)\leftrightarrow a^3-a^2(b+c)=a^3-b^3+c^3$
$\leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc$
$\leftrightarrow b^2+c^2-a^2=bc$
$\leftrightarrow 2bcCosA=bc$
$\leftrightarrow CosA=\frac{1}{2}$
$\leftrightarrow \angle A=\frac{\pi}{3}$

 

Khi đó:

$(1)\leftrightarrow CosB=\frac{1}{2}\leftrightarrow \angle B=\frac{\pi}{3}$

 

Vậy, tam giác ABC đều.

Bài tổng quát hơn nhé

$\forall k\epsilon N^*: 2\cos\frac{a}{2}\cos ka=\cos\frac{(2k-1)a}{2}+\cos\frac{(2k+1)a}{2}$
 

$\Rightarrow2\cos\frac{a}{2}\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\cos ka}=\sum_{k=1}^{n} {(-1)^{k+1}\cos\frac{(2k-1)a}{2}+(-1)^{k+1}\cos\frac{(2k+1)a}{2}}$
$=\cos\frac{a}{2}+(-1)^{n+1}\cos\frac{(2n+1)a}{2}$
$\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k+1}\cos ka}=\frac{1}{2}+\frac{(-1)^{k+1}}{2}.\frac{\cos\frac{(2n+1)a}{2}}{cos\frac{a}{2}}$

 

Hoặc là dạng này:

 

$A=\sum{\cos (x+na)}$

Hướng làm:

- Xét $a= 2k\pi \Rightarrow A=(n+1)\cos x$

- Xét $a\neq 2k\pi \Rightarrow \sin\frac{b}{2} \neq 0$

Tính $\sin\frac{b}{2} A$ rồi rút ra kết quả.

Không mất tổng quát, giả sử C lớn nhất, khi đó:

$\sin C\leq 1$

$A+B\leq 90^o \Rightarrow \sin\frac{A+B}{2}\leq \sin 45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (A+B) \leq 1$

$\sin A+\sin B+\sin C=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}+\sin C\leq \sqrt{2}+1$

$\left\{\begin{matrix}
3\sin^2 a+2\sin^2 b=1\\
3\sin 2a-2\sin 2b=0
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
3\sin^2 a=1-2\sin^2b=\cos2 b\\
3\sin a\cos a=\frac{3}{2}\sin 2a=\sin 2b
\end{matrix}\right.$

 

Ta co:

 

$\cos (a+2b)=\cos a\cos 2b-\sin a\sin 2b=3\sin^2 a\cos a-3\sin a\cos a\sin a=0$

 

Do $a,b$ nhọn nên $a+2b=\frac{\pi}{2}$

$\frac{tan^22a-tan^2a}{1-tan^22a.tan^2a}=\frac{tan2a-tana}{1+tana.tan2a}.\frac{tan2a+tana}{1-tan2a.tana}=tana.tan3a$

 

ps: Hình như đồng chí đăng bài lấy thành tích (nói bừa thôi nha he he)

Bài này ở dạng tổng quát là: $A=\sum{\cos (x+na)}$

Bạn nên tự làm để nhớ lâu hơn

Hướng làm:

- Xét $a= 2k\pi \Rightarrow A=(n+1)\cos x$

- Xét $a\neq 2k\pi \Rightarrow \sin\frac{b}{2} \neq 0$

Tính $\sin\frac{b}{2} A$ rồi rút ra kết quả.

Đó là cách làm của tớ, xin chỉ giáo