VODANH9X

Bái này dễ

Pt $\Leftrightarrow (\frac{9}{4})^{x}+(\frac{6}{4})^{x}=2$

Xét hám số $f(x)=(\frac{9}{4})^{x}+(\frac{6}{4})^{x}$

$f(x)$ đồng biến nên nên pt $f(x)=2$ có nghiệm duy nhất 

mà $x=0$ là nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=0$

2.

$1^{2}+2^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}$

$\Rightarrow lim S = lim\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4(2n^{4}+3n^{2}+5)}=lim \frac{1}{8}$

3.

$2.1^{2}+2.2^{2}+...+(n+1)n^{2}=(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{(n(n+1))^{2}}{4}$ 

 đến đây quy đồng mà giải tiếp

1.$\frac{k-1}{k!}=\frac{k}{k!}-\frac{1}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{(k)!}$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\frac{(k-1)}{k!}=1-\frac{1}{n!}$

$\Rightarrow lim =1$

Đề hay.

1.b)

Đặt $\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,2\sqrt{z}=c$

$\Rightarrow a^{2}+a^{2}+a^{2}=ab+bc+ca\Rightarrow a=b=c$

Đến đây là ok rổi

2.b

Pt$\Leftrightarrow (x-y)^{2}+3(x-1)^{2}+(2x+3)^{2}=62$

Dễ mà

Gọi tâm I(a,b,c)

Lập hệ 3 pt 3 ẩn $AI^{2}=BI^{2} $

 $\left\{\begin{matrix}x^3+x+2-4/y=0 & & \\1+y^2-y^3(4x-2)=0& & \end{matrix}\right.$

Nhận xét $y=0$ không phải là nghiệm.Chia 2 vế của pt2 với $y^{3}$.Đặt $a=\frac{1}{y}$ ta được hệ

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+x+2-4a=0&  & \\  a^{3}+a+2-4x=0&  & \end{matrix}\right.$

Trừ vế theo vế ta được $x^{3}+5x=a^{3}+5a$

$\Leftrightarrow a=x \Leftrightarrow \frac{1}{y}=x$.Thay vào pt1 ta được 

$x^{3}-3x+2=0\Leftrightarrow (x+2)(x-1)^{2}=0$

Suy ra $x=1,y=1$ và $x=-2,y=-\frac{1}{2}$

 

$\left\{ \begin{array}{l} 4x^{3}-12x^{2}+15x=(y+1)\sqrt{2y-1}+7\\ 6(x-2)y-x+26=6\sqrt[3]{16x+24y-28} \end{array} \right. $

 

Pt 1 $\Leftrightarrow (2x-2)^{3}+3(2x-2)=(2y-1)\sqrt{2y-1}+3\sqrt{2y-1}$

$\Leftrightarrow 2x-2=\sqrt{2y-1}\Leftrightarrow 2y=4x^{2}-8x+5 $

Thay vào pt 2 ta được $6x^{3}-24x^{2}+31x-2=\sqrt[3]{48x^{2}-80x+32}$

Pt này chỉ có nghiệm $x=2$ nhưng mình vẫn chưa làm được bạn nào làm giúp mình nhé.

Giải hệ phương trình: 

   $\begin{Bmatrix}x^3-8x=y^3+2y\\ x^2-3y^2=6\end{matrix}$

Bài này đưa về pt đẳng cấp bậc 3.

Pt 1 $\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}=2(4x+y)\Leftrightarrow 3(x^{3}-y^{3})=6(4x+y)\Leftrightarrow 3(x^{3}-y^{3})=(x^{2}-3y^{2})(4x+y)$

$\Leftrightarrow x(x-3y)(x+4y)=0$

Thế vào giải là được

Tiếp theo:

Bài 22: Cho $a,b,x,y$ là bốn số dương thỏa mãn: $a^5+b^5=2$ và $x,y\le 4$. Hãy tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^2+2y^2+24}{xy(a^2+b^2)}$

Áp dụng bđt AM-GM:$a^{5}+a^{5}+1+1+1\geq 5a^{2}$

                                  $b^{5}+b^{5}+1+1+1\geq 5b^{2}$

$\Rightarrow 2a^{5}+2b^{5}+6\geq 5(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\leq 2$

$\Rightarrow P\geq \frac{x^{2}+2y^{2}+24}{2xy}=\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}+\frac{12}{xy}$

Xét hàm số $f(x)=\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}+\frac{12}{xy}$ với $0< x\leq 4$ và y là tham số

$f'(x)=\frac{x^{2}-2y^{2}-24}{2x^2y}\leq \frac{4^{2}-2.0^{2}-24}{2x^{2}y}=\frac{-8}{2x^{2}y}< 0$

Suy ra $f'(x)$ nghịch biến trên $0< x\leq 4$.Do đó $f(x)\geq f(4)$

suy ra $P\geq g(4)=\frac{2}{y}+\frac{y}{4}+\frac{3}{y}=\frac{5}{y}+\frac{y}{4}$

Xét hàm số $g(y)=\frac{5}{y}+\frac{y}{4}$ với $0< y\leq 4$ 

$g'(y)=-\frac{5}{y^{2}}+\frac{1}{4}\leq -\frac{5}{16}+\frac{1}{4}< 0$

Suy ra $g(y)$ nghịch biến trên $0< y\leq 4$.Suy ra $g(y)\geq g(4)=\frac{9}{4}$

Suy ra $P\geq \frac{9}{4}$ dấu bằng xảy ra khi $x=y=4$ và $a=b=1$

Tìm hai số, biết rằng tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng, còn tích của chúng gấp  24 lần hiệu của chúng.

Bài này chỉ là giải hệ pt thôi.Gọi hai số là a,b  ($a> b$)

Theo đề bài ta có $a+b=5(a-b)$ và $ab=24(a-b)$

Chứng minh rằng: $$(C_{n}^{0})^{^{2}} + (C_{n}^{1})^{^{2}} + (C_{n}^{2})^{^{2}} +...+ (C_{n}^{n})^{^{2}} = C_{2n}^{n}$$

Bài này không khó nhưng phải biết.

Xét $(x+1)^{2n}=C_{2n}^{0}+xC_{2n}^{1}+...+x^{n}C_{2n}^{n}+...+x^{2n}C_{2n}^{2n}$

Hệ số của $x^{n}$ là $C_{2n}^{n}$

Ta lại có $(x+1)^{2n}=(x+1)^{n}(x+1)^{n}=(C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+...+x^{n}C_{n}^{n})(x^{n}C_{n}^{0}+x^{n-1}C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n})$

Khai triển ra ta được hệ số của $x^{n}$ là $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}$

Suy ra $(C_{n}^{0})^{2}+(C_{n}^{1})^{2}+...+(C_{n}^{n})^{2}=C_{2n}^{n}$ đpcm

Tính A = $1.C_n^1+2.C_n^2+...+n.C_n^n$

Xét $(x+1)^{n}=C_n^0+x.C_n^1+x^{2}.C_n^2+...+x^{n}.C_n^n$

Lấy đạo hàm 2 vế thay $x=1$ ta được kết quả $A=n.2^{n-1}$

Tìm đạo hàm của hàm số :

$2^{1-a}-a=0$

Xét $f(a)=2^{1-a}-a$

$\Rightarrow f'(a)=-2^{1-a} ln2-1$

Thay x+1-y=0 vào pt 1. Chứng minh vế còn lại dương với $x\geq 0$ như thế nào?

Mình xét hàm đó mà

Lời giải của hai bài toán 11 và bài toán 12 hoàn toàn giống lời giải của bạn VODANH9X và cyldaquil. Nên mình xin đề xuất hai bài tiếp theo:

Bài 13: Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:

$Q=\frac{\sqrt{3}}{4}(x+y+xy)+\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{x^2+y^2-xy}$ biết $x,y$ thỏa mãn: $x,y\in (0,1]$ và $x+y=3xy$.

Bài 14: Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn: $a>b>c$ và $3ab+5bc+7ca\le 9$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{32}{(a-b)^4}+\frac{1}{(b-c)^4}+\frac{1}{(c-a)^4}$. 

Bài 13:

Đặt $x+y=t\Rightarrow xy=\frac{t}{3}$

$\Rightarrow Q=\frac{\sqrt{3}}{3}t+\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{t^{2}-t}$

$x+y=3xy\leq \frac{3}{4}(x+y)^{2}\Rightarrow x+y\geq \frac{4}{3}\Leftrightarrow t\geq \frac{4}{3}$

Ta lại có $(x-1)(y-1)\geq 0\Leftrightarrow xy+1\geq x+y\Leftrightarrow \frac{t}{3}+1\geq t\Leftrightarrow t\leq \frac{3}{2}$

Xét hàm $f(t)=\frac{\sqrt{3}}{3}t+\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{t^{2}-t}$ trên $\frac{4}{3}\leq t\leq \frac{3}{2}$

Hàm này đồng biến trên đoạn đó.

Vậy Min $Q=f(\frac{4}{3})$ khi $x+y=3xy,x+y=\frac{4}{3} \Leftrightarrow x=y=\frac{2}{3}$

       Max$Q=f(\frac{3}{2})$ khi $x+y=3xy,x+y=\frac{3}{2} \Leftrightarrow x=1,y=\frac{1}{2}$,và ngược lại.