DANH0612

Tìm m để hàm số $y= \sqrt{2x-3m+4} - \dfrac{x-2m}{x+m-1}$ có miền xác định là $D = (0;+ \infty )$

điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\geq \frac{3m-4}{2}\\ x\neq -m+1\end{matrix}\right.$

để hs có miền xác định trên $D = (0;+ \infty )$ thi :  

$\left\{\begin{matrix} \frac{3m-4}{2}< 0\\ 1-m\leq 0\end{matrix}\right. \Rightarrow 1\leq m< \frac{4}{3}$

mình nghĩ bài này là vậy ,chứ không phải D là miền xác định 

Tập hợp $G=\{(x,x)|x<0\}\cup \{(x,0)|x\ge 0\}$ có phải là đồ thị của ánh xạ từ $R$ đến $R$ không? Biểu diễn hình học tập đó.

G là những điểm thuộc  

$f(x)=\left\{\begin{matrix} xneu x>0\\ 0neu x\leq 0\end{matrix}\right.$

 nó là ánh xạ , tới đây bạn có thể biểu diễn lên mặt phẳng dx rồi đây 

Giải phương trình $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x-2)}\doteq \sqrt{x(x+3))}$
Em có nghĩ đến việc chuyển vế rồi đặt $\sqrt{x}$ làm nhân tử chung nhưng soi vào điều kiện xác định thì không hợp lí, bình lên thì không hay lắm... 
Nhìn nó có vẻ đơn giản 

thu xet 2 truong hop 

        x > 0

       x$\leq 0$

có vẽ hợp lý 

tìm $f:\left [ 0;1 \right ]\rightarrow \left [ 0;1 \right ]$ thỏa

$i)$ $f(x)\neq f(y)$  $\forall x\neq y$

$ii)$ $2x-f(x)\in \left [ 0;1 \right ]$  $\forall x\in \left [ 0;1 \right ]$

$iii)$ $f(2x-f(x))=x$   $\forall x\in \left [ 0;1 \right ]$

bài này hôm nay mình học thấy hay hay,mọi người xem thử

 

NTP

từ iii $\Rightarrow$ $f(2x-f(x))-(2x-f(x))=f(x)-x$

vì i $\Rightarrow 2x-f(x)=x\Rightarrow f(x)=x$

tính $lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosxcos2x...cosnx}{x^{2}} (n\in \mathbb{N}^{*})$

ta có

A=$\frac{1-cosx+cosx(1-cos2x)+....+cosxcos2x...cos(n-1)x(1-cosnx)}{x^{2}}= \frac{2sin^{2}\frac{x}{2}+2sin^{2}xcosx+.....+cosx...cos(n-1)x.2sin^{2}\frac{nx}{2}}{x^{2}}=\frac{2}{4}.(\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^{2}+.....+cosx...cos(n-1)x.\frac{2n^{2}}{4}(\frac{sin\frac{nx}{2}}{\frac{nx}{2}})^{2}$

vậy $\lim_{x \mapsto 0}A=\frac{1}{2}(1+2^{2}+.....+n^{2})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}$

ta có: $x^{2}+y^{2}\geq 2xy$

từ gt suy ra: $2x^{2}+2y^{2}-8=2xy$

 

trừ vế theo vế ta được 

$-(x^{2}+y^{2})\geq -8$

suy ra

$x^{2}+y^{2}\geq 8$

suy ra....

min=8 

<=>x=y=2

bất đẵng thức đổi dấu bạn 

cho $x^{2}+y^{2}-xy=4$

tìm min của $x^{2}+y^{2}$

 

có phải min =8 khi x=y=2 không ạ???

với y=0 thì P=4

với y$\neq 0$

$Q=\frac{P}{4}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}-xy}=\frac{t^{2}+1}{t^{2}-t+1}\Rightarrow (Q-1)t^{2}-Qt+(Q-1)=0$

để pt có ngiệm thì

$Q^{2}-4(Q-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2\geq Q\geq \frac{2}{3}\Rightarrow 8\geq P\geq \frac{8}{3}$

vậy maxP=8 khi x=y=$\pm 2$

      minP =$\frac{8}{3}$ khi x=-y=$x=-y=\frac{\pm 2}{\sqrt{3}}$

 

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

 

Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2+}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$

 

 

 

$VT=\sum \frac{a(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}= \sum a(a+b)(1-\frac{2ab}{a^{2}+ab+b^{2}})\geq \sum (a^{2}+ab)(1-\frac{2}{3})$

$= \frac{1}{3}\sum (a^{2}+ab)=\frac{2}{9}. \frac{3\sum a^{2}+3\sum ab}{2} \geq \frac{2}{9}.\frac{2\sum a^{2}+4\sum ab}{2}=\frac{2}{9}(\sum a)^{2}$

(vì $\sum a^{2}\geq \sum ab$) 

dấu = xãy ra khi a=b=c

Cho các số thực dương $x,y$ thoả mãn: $x^{3}+y^{3}=x-y$. CMR: $x^{2}+4y^{2}< 1$ 

ta có $x-y=\frac{x^{3}+y^{3}}{1}< \frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+4y^{2}}\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+4y^{2})< x^{3}+y^{3}\Leftrightarrow 5y^{3}-4xy^{2}+x^{2}y> 0$

$\Leftrightarrow y^{2} +(2y-x)^{2}> 0$

điều này luôn đúng với mọi x>y>0

$\Rightarrow$ dpcm

Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c$$


 

 đặt z=x+yi

$\left | z-a \right |+\left | z+a \right |=\frac{\left | z-a \right |^{2}-\left |z+a \right |^{2}}{\left | z-a \right |-\left | z+a \right |}=\frac{(x-a)^{2}+y^{2}-(x+a)^{2}-y^{2}}{2c}=\frac{-4ax}{2c}=-\frac{2ax}{c} $ 

ta có $\Rightarrow 2\left | z-a \right |=2c-\frac{2ax}{c}\Rightarrow \frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ ( Hyperbol )

vậy z là tập hợp các điểm  đường Hyperbol $\frac{y^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{(\frac{c^{2}}{a})^{2}}=1$ 

1 a,b,c > 1

 Tìm gtnn của A = $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}$

2 x,y,z >0  , x+y+z $\leq$1

        Tìm min p =$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{y^{2}}}+\sqrt{y^{2}+\frac{1}{z^{2}}}+\sqrt{z^{2}+\frac{1}{x^{2}}}$

1) $\frac{x^{2}}{x-1}=x-1+\frac{1}{x-1}+2\geq 4$ $\forall x> 1$

do đó $A\geq 4.4+5.4+3.4=48$

dây = xãy ra khi x=y=z=2

2) ta có

$A\geq \sqrt{(\sum x)^{2}+(\sum\frac{1}{x})^{2} }\geq \sqrt{(\sum x)^{2}+\frac{81}{(\sum x)^{2}}} =\sqrt{(\sum x)^{2}+\frac{1}{(\sum x)^{2}}+\frac{80}{(\sum x)^{2}}} \geq \sqrt{82}$

dấu = xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$

 

Bài toán:

 

$\boxed{1}$Chứng minh rằng : Với mọi số thực dương $a;b;c$ ta có bất đẳng thức sau:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{9}{2}\leq \frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$$

 

 

ta có $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

$VT\leq 2\sum \frac{a}{b+c}+3=\sum a\sum \frac{2}{b+c}-3\leq \sum a\sum \frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3= \sum a\sum \frac{1}{a}-3=VP$ (dpcm) 

đây = xảy ra khi a=b=c

Cho em hỏi ý tưởng chỗ màu đỏ ?

tại mình thấy $\exists a,b$ để $\frac{y}{y+1}\leq a+by$  với mọi y<1

nhờ phương pháp tuyếp tiến bạn có thể tìm dx a,b 

còn cách chứng minh trên là từ đây ra ak

 

Bài toán:

 

Cho các số dương $x,y,z$ thoả $x+y+z=1$.

Chứng minh rằng:$$\frac{xy}{\sqrt{xy+yz}}+\frac{yz}{\sqrt{yz+zx}}+\frac{zx}{\sqrt{zx+xy}}\le\frac{\sqrt 2}{2}$$

 

ta có 

$VT=\sum \frac{\sqrt{2}xy}{\sqrt{2y(1-y)}}\leq \sum \frac{2\sqrt{2}xy}{y+1}= \sum 2\sqrt{2}x[1+\frac{9}{16}(y+1)-\frac{9}{16}(y+1)-\frac{1}{y+1}]\leq \sum 2\sqrt{2}x(\frac{1}{16}+\frac{9y}{16})= \frac{\sqrt{2}}{8}\sum (x+9xy)=\frac{\sqrt{2}}{8}(\sum x+3.3\sum xy)\leq \frac{\sqrt{2}}{8}[\sum x+3(\sum x)^{2}]=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (dpcm)

dấy= xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{3}$ 

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x}-1) +2x\sqrt{y}\\ 2x-y-1=0 \end{matrix}\right.$

mình cũng coá được cách này nàk 

ta có 

$y\geq 0\Rightarrow 2x=y+1\geq 1$

 $x+y=\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{x}-1)+(y+1)\sqrt{y}\Rightarrow x-(\sqrt{y})^{3}+(\sqrt{y})^{2}-(\sqrt[3]{x})^{2}+\sqrt[3]{x}-\sqrt{y}=0\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x}-\sqrt{y})(\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}\sqrt{y} +\sqrt{y^{2}}-\sqrt[3]{x}-\sqrt{y}+1) =0\Rightarrow x^{2} =y^{3}$

(vì $\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}\sqrt{y} +\sqrt{y^{2}}-\sqrt[3]{x}-\sqrt{y}+1 =(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{2})^{2}+(\sqrt{y}-\frac{1}{2})^{2}+\sqrt[3]{x}\sqrt{y} +\frac{1}{2}> 0$)

$\Rightarrow (y+1)^{2}=4y^{3}\Rightarrow 4y^{3}-y^{2}-2y-1=0\Leftrightarrow (y-1)(4y^{2}+3y+1)=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x=1$