Đến nội dung

phamanhtuan99

phamanhtuan99

Đăng ký: 22-05-2014
Offline Đăng nhập: 08-10-2014 - 16:06
-----

#511627 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Hình học

Gửi bởi phamanhtuan99 trong 08-07-2014 - 10:16

14) Cho tứ giác $ABCD$ có $AB=AD$ và $CB=CD$

1, Chứng minh rằng:

a, Tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp được một đường tròn

b, Tứ giác $ABCD$ nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi $AB$ và $BC$ vuông góc với nhau.

Bài 14,1,a :e6.png

Do $AB=AD$ và $BC=BD$ nên $AC$ là trung trực của $BD$

Khi đó $AC$ là tia phân giác $\widehat{BAD}$ và $CA$ là phân giác $\widehat{BCD}$

nên tia phân giác hai góc này trùng nhau và chình là $AC$

gọi giao điểm của tia phân giác góc $D$ và góc $B$ của tứ giác $ABCD$ với AC lần lượt là $H$ và $K$ thì

$\frac{AH}{HC} = \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{AK}{KC}$

 từ đó suy ra bốn tia phân giác bốn góc của tứ giác $ABCD$ đồng quy tại một điểm nên tứ giác này ngoại tiếp

Bài 14,1,b:e7.png

Ta thấy theo ý a ta cũng có $AC$ trung trực của $BD$ nên khi $AB \perp BC$ thì $IA \cdot IC = IB^2$

Mà ta dễ dang cm được $AD \perp DC$ và cũng có $IA \cdot IC = ID^2$

từ đó suy ra $IA \cdot IC =ID \cdot IB$ và tứ giác $ABCD nội tiếp




#511488 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Hình học

Gửi bởi phamanhtuan99 trong 07-07-2014 - 17:03

$22/$
Cho BC la dây cung cố định của đường tròn tâm O bán kính R (BC khác 2R).A là điểm chuyển động trên cung lớn BC.Vẽ hình bình hành ABCD . E la điểm đối xứng của C qua B.
a,Xác định vị trí của A để:
1,PABCD max
2,SABCD max

e4.png

 1,Ta thấy $P_{ABCD}= 2(AB+BC)$ Mà $BC$ cố định nên để $P_{ABCD}$ max thì $AB$ max khi và chỉ khi $AB$ là đường kính của đường tròn tâm $O$

2, Kẻ đường cao của hình bình hành $ABCD$ như hình vẽ gọi là $AH$ $\Rightarrow S_{ABCD} = AH\cdot BC$ mà $BC$ cố định nên để $S_{ABCD} $ max thì $AH$ max khi và chỉ khi $A$ là điểm chính giữa cung $BC$




#511472 $\boxed{\text{Chuyên Đề}}$ Hình học

Gửi bởi phamanhtuan99 trong 07-07-2014 - 16:19

 


$21/$
Cho ΔABC nội tiếp đường tròn tâm O,đường cao BE,AD,CQ cắt tai H,đường kính AF, trung điểm M của BC,Trọng tâm G của ΔABC .N,P,I,K,L lần lượt là trung điểm của AB,AC,HA,HB,HC.CMR:
a,3 điểm H,G,O thẳng hàng và HG=2OG.
 

$21/$

$a/$

h.PNG

 

Kẻ đường kính $BK$ như hình vẽ

$\Rightarrow BK \perp KC$

Mà $OM \perp BC$

$\Rightarrow OM \parallel CK$

Mà do $M$ là trung điểm của $BC$ nên $OM=\frac{1}{2} BC$

Mặt khác ta sẽ chứng minh $OM=\frac{1}{2} AH$ bằng cách chứng minh $AH=CK$

Do $\widetilde{BC}+\widetilde{CK}=\widetilde{BK}=180^o$

$\rightarrow \widehat{BAC} + \widehat{CAK} = 90^o$

Mà $\widehat{BAC} + \widehat{HCA} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{CAK} = \widehat{HCA}$

$\Rightarrow CH $ // $AK$

Mà $AH$ //$CK$

$\Rightarrow AHCK$ là hình bình hành

$\Rightarrow AH=CK$

$\Rightarrow OM=\frac{1}{2} AH$

Ta lại có $AG=2GM$ (tính chất trọng tâm)

         Và $\widehat{OMA} = \widehat{DAM}$

nên $\Delta{HGA}\sim \Delta{OGM}$

nên $H$,$G$,$O$thẳng hàng và $HG=2GO$