huuhieuht

c; Kẻ OM vuông góc với BC; ON vuông góc với AC  dễ CM được OM=1/2AH;ON=1/2BH mà tam giác BHD đồng dạng với AHE suy ra

BD.AH=AE.BH .DO đó BD.OM=AE.ON suy ra ĐPCM

Cách khác nè

 Từ GT suy ra: $(2-x)(2-y)\geq 0\Rightarrow 4+xy\geq 2(x+y)=6\Rightarrow xy\geq 2$ Do đó:

$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=9-2xy\leq 9-2.2=5$

 Đẳng thức xảy ra khi x=1;y=2 và hoán vị

Đặt biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là A

Ta có A=$\frac{x^{2}+y^{2}+xy}{x+y}+\frac{12}{x+y}=\frac{(x+y)^{2}-xy}{x+y}+\frac{12}{x+y}\geq \frac{(x+y)^{2}-\frac{(x+y)^{2}}{4}}{x+y}+\frac{12}{x+y}$$=\frac{3(x+y)}{4}+\frac{12}{x+y}\geq 6$ (theo BĐT cô-si)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=2

Bài bạn vừa đưa về ấy ,nếu thay xyz=1 thành xy+yz+zx =3 thì làm cách nào ,bài này mình nghĩ mãi không ra

Ta đưa bài toán về bài toán tương đương sau:

$\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}\geq \frac{3}{2}$

Điều kiện ở đây là $xyz=1$ bài này sử dụng Cauchy ngc dấu đc bạn ạ

Nếu bạn muốn giả sử thì hãy giả sử chẳng hạn như là a=max{a,b,c} hoặc a=min{a,b,c}

hình như cauchy ko dc bạn ạ

Nhân 4 lên rồi đưa về phương trình tích

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn :$x^{3}+y^{4}\leqslant x^{2}+y^{3}$ Chứng minh rằng :x³+y³$\leq$ 2

Bình phương hai đẳng thức lên rồi cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh

Giả sử tồn tại P(x) và Q(x) thỏa mãn  điều kiên

Tìm đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn: $\frac{P(x)}{Q(x)}=\sqrt{x^2+2004}$ (1) với mọi $x \in \mathbb{R}$

 (1) thì $\mathbb{P}^{2}(x)=\mathbb{Q}^{2}(x)(x^{2}+2004)\Rightarrow$ bậc của P(x)=bậc của Q(x)+1

Mặt khác từ (1) suy ra P(x)/Q(x)  xác định với mọi x thuôc R .Suy ra Q(x) không đổi dấu trên R.

Cho nên P(x) có bậc là số tự nhiên lẻ .Suy ra tồn tai 1số  Y thuộc R sao cho P(Y)=0;

Vô lý vì x²+2004>0 suy ra ko tồn tai P(x) ,Q(x) thỏa mãn

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow$

$\Rightarrow (x+y)/xy+\frac{1}{z}=1\Rightarrow (xyz)/yz+1/z=1$

$\Rightarrow z+1/z-1=0\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm

Câu 1: x,y,z nguyên dương.

Vì vai trò x và y như nhau nên ta có thể giả sử $x\geq y$

Ta có: $xyz=x+y\leq 2x\Leftrightarrow yz\leq 2$

Do đó, có 2 trường hợp:

+/ y=1; z=2

Khi đó: $2x=x+1\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn $x\geq y$)

+/ y=2; z=1

Khi đó: $2x=x+2\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn $x\geq y$)

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm (x,y,z)=(1,1,2);(2,2,1)

$3^{x}+1=(y+1)^{2}\Leftrightarrow 3^{x}=y^{2}+2y\Leftrightarrow 3^{x}=y(y+2).$

Đặt y=3ⁿ,y+2=3^m (m>n)ta có:

  $3^{m}-3^{n}=2\Rightarrow 3^{n}(3^{m-n}-1)=2$.

Vì (2,3)=1 suy ra 3ⁿ=1 suy ra n=0

  Lại có 3^m-1=2 hay m=1;

 Từ đó thay vào ta tính được Y=1,X=1

Vậy phương trình có một cặp nghiệm duy nhất là X=y=1 

Câu 1:

  X²+X-Y²=0 $\Leftrightarrow X^{2}+X=Y^{2}\Leftrightarrow X(X+1)=Y^{2}.$

Vì X(x+1) là 2 số nguyên tố cùng nhau nên có ước chung lớn nhất là 1 ,mặt khác x khác x+1 suy ra X(X+1)=0 và y=0

Suy ra pt có 2 nghiệm  là (0,1);(0,-1)

 

 

`

 

 

 

 

nếu các bạn mà khử mẫu thì sẽ phải có điều kiện ab>=0