Đến nội dung

I Love MC

I Love MC

Đăng ký: 07-06-2014
Offline Đăng nhập: 04-03-2022 - 18:06
****-

Trong chủ đề: $f(xy).gcd(f(x)f(y),f(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y}))=xyf(...

02-01-2018 - 20:42

Đây là Benelux 2017 


Trong chủ đề: HÀ Tĩnh (vòng 1)

03-12-2017 - 21:23

2) Bổ đề : $a,b,c$ không âm . Lúc đó ta có $a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \frac{4}{27}(a+b+c)^3$
Chứng minh. Giả sử $b$ nằm giữa $a,c$ lúc đó ta có $(b-a)(b-c) \le 0 \Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc \leq b(a+c)^2=\frac{1}{2}2b(a+c)(a+c) \le \frac{1}{2}.\frac{(2b+a++a+c)^3}{27}=\frac{4}{27}(a+b+c)^3$

Áp dụng vào bài toán ta có $a^2b+b^2c+c^2a \le \frac{4}{27}(a+b+c)^3-abc$ 
Ta chứng minh $(a+b+c)(a+b+c-abc) \ge \frac{8}{27}(a+b+c)^3-2abc$ hay $(a+b+c)^2-abc(a+b+c-2) \ge \frac{8}{27}(a+b+c)^3$ 
Có $a+b+c \ge \frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{3} \ge 3abc$suy ra $(a+b+c)^2-abc(a+b+c-2) \ge (a+b+c)^2-\frac{a+b+c}{3}(a+b+c-2)=t^2.\frac{2}{3}+t.\frac{2}{3}$. Ta chưngs minh $t^2+t \ge \frac{4}{9}t^3 \Leftrightarrow 0 \le t \le 3$. Đúng. Vậy ta có đpcm 


Trong chủ đề: $a^n+2^n \mid b^n+c$

19-10-2017 - 21:32

IMO 2013 
 


Trong chủ đề: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 năm học 2017-2018 - Tỉnh Bà Rị...

13-10-2017 - 22:32

Câu tổ cuối sử dụng nguyên lí Fubini ,lập bảng và đếm theo 2 cách (có trong tổ hợp mathscope) 


Trong chủ đề: $n! \vdots dn^{2}+1$

09-10-2017 - 20:14

$d(4d+1)$ ko là số chính phương $\Rightarrow x^2-d(4d+1)y^2=1$ có vô hạn nghiệm nguyên dương $(x_k,y_k)$. Xét phương trình $(4d+1)u^2-dn^2=1 (1)$ có nghiệm $(u,n)=(1,2)$ 
Suy ra $(u_k,n_k)=(x_k+2dy_k,2x_k+(4d+1)y_k)$ là nghiệm của $(1)$ 
Nếu $n_k \le 2u_k-1$ thì $(4d+1)u_k^2 \le d(2u_k-1)^2+1$ (vô lí) 
Suy ra $n_k \ge 2u_k$ . Chọn $k$ đủ lớn $n_k \ge 4d+1$ 
Khi đó $(n_k)! \vdots (2u_k).u_k.(4d+1)=2(dn_k^2+1) \vdots (dn_k^2+1)$ với mọi $k$ đủ lớn.