Belphegor Varia

Cho tam giác $ABC$ với 2 điểm $P,Q$ liên hợp đẳng giác . Gọi $D$ là giao điểm của $AP$ và $BC$ . Lấy điểm $K$ trên đoạn $AB$ thỏa mãn $\angle BDK=\angle ADQ$ . Đường thẳng $AQ$ cắt $\odot (ADK)$ lần hai tại $H$ . Gọi $R$ là giao điểm của $CH$ và $DK$ . Chứng minh nếu $P$ di chuyển trên 1 đường thẳng cố định qua $A$ thì $RQ$ đi qua 1 điểm cố định
 

                                         Đề chọn đội tuyển HSG Quốc gia Ninh Bình 

Câu 1 : Cho trước số tự nhiên $n(n \geq 3)$; $a_1,a_2,...,a_n$  là các số thực dương bất kì. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :      

                               $F=\frac{a_1^2}{na_1^2+a_2a_3}+\frac{a_2^2}{na_2^2+a_3a_4}+...+\frac{a_{n-1}^2}{na_{n-1}^2+a_na_1}+\frac{a_n^2}{na_n^2+a_1a_2}$

Câu 2 : Cho trước $2$ số thực dương $\alpha ,\beta $. Hàm số $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty )$ thỏa mãn $f(f(x))+\alpha f(x)=\beta (\alpha +\beta )x, \forall x>0.$. Tính $f(2015)$

Câu 3 : Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $D$ là một điểm thuộc cung $BC$ của đường tròn $(O)$ không chứa $A$. $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. $P$ là một điểm nằm trên đường thẳng $DM$. $E,F$ lần lượt là hai điểm thuộc đoạn thẳng $AC,AB$ sao cho $PE || DC , PF || DB$. Các tiếp tuyến tại $E,F$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt nhau tại $T$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $O$ cắt nhau tại $S$. Gọi $Q$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $DQ || BC$. Chứng minh rằng $AQ || ST$

Câu 4 : Cho $n \geq 3, n\in \mathbb{N}, X \subseteq \left \{ 1;2;...;n^3 \right \}, \left | X \right |=3n^2$. Chứng minh rằng có thể tìm được 9 số $a_1,a_2,...,a_9$ đôi một khác nhau thuộc $X$ sao cho hệ phương trình : 

      $ \left\{\begin{matrix}a_1x+a_2y+a_3z=0 &  & \\ a_4x+a_5y+a_6z=0&  & \\ a_7x+a_8y+z_9z=0 &  & \end{matrix}\right.$      

có nghiệm nguyên $(x_0,y_0,z_0)$ thỏa mãn $x_0,y_0,z_0\neq 0$

Nguồn : Facebook Mai Xuân Việt

$\bullet$ (Rusia 1997) : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^3-q^5=(p+q)^2$

$\bullet$ Hãy tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho :  

                                              $\tau (n^2)=k\tau (n)$ với $n$ nguyên dương nào đó