Melodyy

Dựng tam giác đều $ABC$ cạnh bằng 1 .LẤy điểm $O$ trong tam giác kẻ các đường cao $OH,OK,OP$
Ta sẽ có $x=OA^2$ tương tự $y,z$ và điểm O luôn dựng đc trong tam giác nên hệ có nghiệm

Đặt $log_{7}^{x}=2t\Rightarrow x=7^{2t}\Rightarrow \sqrt{x}=7^{t}$
PT viết lại $log_{3}^{3^{2t}}=log_{3}^{7^{t}+2}$

nên $9^t=7^t+2$ ... suy ra $t=1$ ...

Bạn đó nhầm ở $\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq \frac{32}{(a+b+c)^2}$
Thực ra chỉ $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x^2+y^2}\geq \frac{12}{(x+y)^2}$
CM $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\frac{x^2+y^2}{2x^2y^2}+\frac{2}{x^2+y^2}\geq 3\sqrt[3]{(\frac{2(x^2+y^2)}{4(xy)^4})}\geq \frac{12}{4xy}\geq \frac{12}{(x+y)^2}=12$

Câu 24 :  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa : $x,y,z\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$. Tìm GTLN và GTNN của : 

$f(x,y,z)=x+y+z-xy-yz-zx$
Có thể giải bằng đạo hàm khử biến

Với  $x,y,z\in \begin{bmatrix} 0;\frac{1}{2} \end{bmatrix}$

Cố định $x$ viết lại hàm theo $x$ là $f(x)=x(1-y-z)+y+z-yz$ vs $x\in [0;\frac{1}{2}]$
$f'(x)=1-y-z\geq 0$ (d0 gt)  nên hàm số Đồng biến
Tới đây : TÌM MIN
$f(x)\geq f(0)=y(1-z)+z$
Cố định y , Xét hàm $f(y)=y(1-z)+z$ với $y\in [0;\frac{1}{2}]$
$f'(y)\geq 0$ nên $f(y)$ ĐB do đó $f(y)\geq f(0)=z \geq 0$
Vậy min P bằng 0 khi $x=y=z=0$
              TÌM MAX
$f(x)\leq f(\frac{1}{2})=y(\frac{1}{2}-z)+\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}$
Cố định y ,xét hàm $f(y)=y(\frac{1}{2}-z)+\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}$ với $y\in [0;\frac{1}{2}]$

$f'(y)\geq 0$ nên $f(y)$ ĐB do đó $f(y)\leq f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-z)+\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$
Vậy max P bằng $\frac{3}{4}$ khi $x=y=\frac{1}{2};z\in [0;\frac{1}{2}]$

Câu 1 có sai đề ko nhỉ vì $3(\sum_{i=1}^{1994}x_{i}^{2})\geq (\sum_{i=1}^{1994}x_{i})^{2}\Leftrightarrow 3\geq 9$