khanh2101

Có điều kiện x >= y >= z >0. Mình quên ạ!

Cái này đánh giá Bunhia cũng đc  

Sử dụng Engel: 

$a+b+c\leq 3\Rightarrow \sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{9}{6-(a+b+c)}\geq 3$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Ta có: 

$\frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{a+b^{2}}{b(a+b^{2})}-\frac{b^{2}}{b(a+b^{2})}\geq \frac{1}{b}-\frac{1}{2\sqrt{a}}$

Tương tự: 

$\sum \frac{a}{b^{3}+ab}\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{3}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-3$

Ta lại có 

$\sum \sqrt{a}\leq \frac{1}{2}(a+b+c+3)=3$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq 3$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{b^{3}+ab}\geq 3.\frac{3}{2}-3=\frac{3}{2}$

Cách hay hơn ạ: 

$(a+b)+(b+c)+(c+a)\geq 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$\Rightarrow 8(a+b+c)^{3}\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$