Love Inequalities

Thưa thầy em có làm một file bìa sách là bia.pdf vậy làm sao để chèn vừa khổ A4 ạ? Em dùng lệnh chèn ảnh nó không khít được cả trang giấy ạ. Em cảm ơn thầy!

de chuan  

Tại tớ thấy chỗ $\left(x+y+x\right)^2$ có vẻ hơi kì quặc   

bổ sung bài làm chơi : Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn $x+y+2z=xy+1$. Tìm GTLN $P=\frac{2}{(x+y+x)^2}-\frac{7}{3(x+y+z)^2}+\frac{1}{2(x^2+y^2)+3z^2}$

Bạn xem lại đề chút được không?

Tiếp tục với các bài toán chưa giải quyết :
Thực sự, nhiều bài toán không dừng lại ở mức độ THPT nữa mà đã mang tầm cỡ cao hơn. Mọi người tích cực nhé

Bài 1.
Cho $a, b, c > 0, abc =1 $ Chứng minh rằng :
$$\sum{\dfrac{1}{a}} + \dfrac{6}{a + b + c} \ge 5$$

Bài 1:

Không mất tính tổng quát. Giả sử $a\geq b\geq c$. Đặt $t=\sqrt{bc}\Rightarrow t\leq 1$

Xét $\left\{\begin{matrix} f\left ( a,b,c \right )=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{6}{a+b+c} & \\ f\left ( a,t,t \right )=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{\sqrt{bc}}+\dfrac{6}{a+2\sqrt{bc}} &\end{matrix}\right.$

Bài tiếp :

1,Tìm tất cả các giá trị của $a$ và $b$ thỏa mãn điều kiện : $a \geq \frac{-1}{2};\frac{a}{b} >1$ sao cho biểu thức $P=\frac{2a^3+1}{b(a-b)}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

2,Cho các số thực dương $a,b$ thỏa $a+b+1=3ab$.Tìm GTLN $P=\frac{3a}{b(1+a)}+\frac{3b}{a(1+b)}-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}$

2. $$\frac{3a}{b\left ( 1+a \right )}+\frac{3b}{a\left ( 1+b \right )}=\frac{3\left ( a+b \right )^2}{ab\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}=\frac{27\left ( a+b \right )^2}{4\left ( a+b+1 \right )^2}=\frac{27}{4\left ( 1+\dfrac{1}{a+b } \right )^2}$$

$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{\left ( a+b \right )^2-2ab}{a^2b^2}=\frac{\left ( a+b \right )^2-\dfrac{2}{3}\left ( a+b+1 \right )}{\dfrac{1}{9}\left ( a+b+1 \right )^2}=\frac{-\dfrac{6}{\left ( a+b \right )^2}-\dfrac{6}{\left ( a+b \right )}+9}{\left ( 1+\dfrac{1}{a+b} \right )^2}$$

Có: $a+b+1=3ab\leq \frac{3\left ( a+b \right )^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{2}$. Đặt $t=\frac{1}{a+b}$ với $t\in\left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$

$$P=f\left ( t \right )=\frac{27}{4\left ( t+1 \right )^2}+\frac{6t^2+6t-9}{\left ( t+1 \right )^2}$$

$$f\left ( t \right )=\frac{12t+21}{2\left ( t+1 \right )^3}>0\ \forall t\in \left ( 0;\frac{1}{2} \right ]$$

$$\Rightarrow P=f\left ( t \right )\leq f\left ( \frac{1}{2} \right] =1$$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$