Đến nội dung

tungteng532000

tungteng532000

Đăng ký: 27-06-2014
Offline Đăng nhập: 30-09-2018 - 19:54
****-

#680632 tìm min

Gửi bởi tungteng532000 trong 14-05-2017 - 12:08

Cho x,y,z là các số dương thoả mãn xy+yz+zx=$\frac{2}{3}$.tìm min

P=7x2+64y2+45z2

Ta có:
$P=3(x-4y)^2+4(3z-x)^2+(3z-4y)^2+24(xy+yz+zx)\geq 16$
Đẳng thức xảy ra khi $x=4y,x=3z,xy+yz+zx=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=1,y=\frac{1}{4},z=\frac{1}{3}$




#660720 Min $F=\frac{a^{3}}{bc}+\frac...

Gửi bởi tungteng532000 trong 05-11-2016 - 22:04

Cho a,b,c > 0 , $a+b+c \leq \frac{3}{2}$

Tìm Min $F=\frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^{3}}{ab}+\frac{a}{b^{2}}+\frac{b}{c^{2}}+\frac{c}{a^{2}}$

Ta có: $F\geq a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}+\frac{27}{4(a+b+c)}\geq 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$




#652752 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^{3}+y^{3}+z...

Gửi bởi tungteng532000 trong 04-09-2016 - 14:19

Cho các số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 & & \end{matrix}\right.$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^{3}+y^{3}+z^{3}$

Dồn về 1 ẩn thôi  bạn.




#646840 Giải phương trình: $\dfrac{17x - 4x^2}{(x^2 - 2x + 5...

Gửi bởi tungteng532000 trong 27-07-2016 - 23:52

 

 

3) $x^2 + \dfrac{x}{x + 1} = (3 - x)\sqrt{-x^2 + x + 2}$ 

$PT\Leftrightarrow x^3+x^2+x-(x+1)(3-x)\sqrt{-x^2+x+2}=0$
$\Leftrightarrow -(\sqrt{-x^2+x+2}-x)\left [ 2x+3+x\sqrt{-x^2+x+2} \right ]=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{-x^2+x+2}-x=0$
Vì $2x+3+x\sqrt{-x^2+x+2}=\frac{1}{2}(x+\sqrt{-x^2+x+2})^2+\frac{3x}{2}+2>0$ với $x\geq -1$




#646838 Giải phương trình: $\dfrac{17x - 4x^2}{(x^2 - 2x + 5...

Gửi bởi tungteng532000 trong 27-07-2016 - 23:27

 

1) $\dfrac{17x - 4x^2}{(x^2 - 2x + 5)(2x - 1)} < 1 - 2\sqrt{x - 4}$ 

 

 

$PT\Leftrightarrow (17-4x)(\frac{1}{1+2\sqrt{x-4}}-\frac{x}{(x^2-2x+5)(2x-1)})>0\Leftrightarrow x< \frac{17}{4}$
Vì $\frac{1}{1+2\sqrt{x-4}}-\frac{x}{(x^2-2x+5)(2x-1)}=\frac{2(x-4)(x^2+x+9)+71+(x-\sqrt{x-4})^2}{(1+2\sqrt{x-4})(x^2-2x+5)(2x-1)}>0$




#646695 Giải phương trình vô tỉ

Gửi bởi tungteng532000 trong 27-07-2016 - 12:15

 

Bài 3

$\sqrt{x+2}=\frac{x+2+2\sqrt{2x+1}}{x+\sqrt{2x+1}}$

$PT\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-2)+(2-\frac{x+2+2\sqrt{2x+1}}{x+\sqrt{2x+1}})=0$
$\Leftrightarrow (x-2)\left [ \frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{x+\sqrt{2x+1}} \right ]=0$
$\Leftrightarrow x=2$
Vì $\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}+\frac{1}{x+\sqrt{2x+1}}=\frac{x+2+\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+1}}{(\sqrt{x+2}+2)(x+\sqrt{2x+1})}$ có tử >0




#646692 Giải phương trình vô tỉ

Gửi bởi tungteng532000 trong 27-07-2016 - 12:03

Bài1:

$\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^2}$

Bài 1: Casio
$PT\Leftrightarrow (2\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}-3)(\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}+2)=0\Leftrightarrow 2\sqrt{1-x}+\sqrt{x+1}-3=0$
Cái này dễ rồi  :D 
 




#644902 Tìm GTLN của biểu thức $M=\left | x^3+y^3+z^3-xyz \right |$

Gửi bởi tungteng532000 trong 14-07-2016 - 10:02

 

Cho các số thực $x,y,z \in R$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$
Tìm GTLN của biểu thức $M=\left | x^3+y^3+z^3-xyz \right |$

 

Ta có: $(x^3+y^3+z^3-xyz)^2-(x^2+y^2+z^2)^3=-\sum x^2y^2(x-y)^2-2\sum [x^4(y^2+yz+z^2)]-5x^2y^2z^2\leq 0\Rightarrow M^2\leq 1\Rightarrow M\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi 2 số =0 1 số = 1 hoặc -1




#644340 Giải phương trình $\sqrt[3]{7x+1}-\sqrt[3]{x^...

Gửi bởi tungteng532000 trong 10-07-2016 - 13:53

$\sqrt[3]{7x+1}-\sqrt[3]{x^{2}-x-8}+\sqrt[3]{x^{2}-8x-1}=2$

$PT\Leftrightarrow \sqrt[3]{7x+1}+\sqrt[3]{x^{2}-8x-1}=2+\sqrt[3]{x^{2}-x-8}$
$\Leftrightarrow x^2-x+3\sqrt[3]{(7x+1)(x^2-8x-1)}(\sqrt[3]{x^2-x-8}+2)=x^2-x+6\sqrt[3]{x^2-x-8}(\sqrt[3]{x^2-x-8}+2)$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-x-8}+2)(\sqrt[3]{(7x+1)(x^2-8x-1)}-2\sqrt[3]{x^2-x-8})=0$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x^2-x-8}=-2$ hoặc $(7x+1)(x^2-8x-1)=8(x^2-x-8)$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$ hoặc $x=-1$ hoặc $x=9$




#644337 Chứng minh $(a+b+c)(ab+bc+ca)(a^{3}+b^{3}+c^{3...

Gửi bởi tungteng532000 trong 10-07-2016 - 13:26

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh

$(a+b+c)(ab+bc+ca)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

Ta chứng minh:
$\frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{(a^2+b^2+c^2)^2}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3)}{(a^2+b^2+c^2)^2}-1\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-1\Leftrightarrow \frac{\sum ab(a-b)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}\leq \frac{\sum (a-b)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (đúng)
Vì $\frac{ab}{(a^2+b^2+c^2)^2}<\frac{a^2+b^2+c^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2}\leq \frac{1}{2(ab+bc+ca)}$
Tương tự, ta có bđt đc chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c




#644307 $\frac{18}{3x-\sqrt{9x^{2}-4...

Gửi bởi tungteng532000 trong 10-07-2016 - 08:45

$\frac{18}{3x-\sqrt{9x^{2}-4}}= \frac{x^{2}+1}{x}+\frac{9x}{x^{2}+1}$

Đk; $x\geq \frac{2}{3}$ hoặc $x\leq \frac{-2}{3}$
Ta có: $PT\Leftrightarrow \frac{18(3x+\sqrt{9x^2-4})}{4}=\frac{(x^2+1)^2+9x^2}{x(x^2+1)}$
$\Leftrightarrow 9x(x^2+1)\sqrt{9x^2-4}+25x^4+5x^2-2=0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{9x^2-4}+x)(14x^3+17x+(4x^2+1)\sqrt{9x^2-4})=0$
Th1: $x\geq \frac{2}{3}$ $\Rightarrow 14x^3+17x+(4x^2+1)\sqrt{9x^2-4}>0$
Th2: $x\leq \frac{-2}{3}$
Ta có: $\sqrt{9x^2-4}=\sqrt{(2-3x)(-2-3x)}\leq \frac{-6x}{2}=-3x$
Do đó $14x^3+17x+(4x^2+1)\sqrt{9x^2-4}\leq 14x^3+17x-3x(4x^2+1)=2x^3+14x<0$
Nên $PT=0\Leftrightarrow \sqrt{9x^2-4}+x=0$
Cái này dễ rồi, bạn tự giải nốt nhé  :ukliam2: 
 




#644198 Chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}+7abc...

Gửi bởi tungteng532000 trong 09-07-2016 - 10:05

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=3$

Chứng minh rằng $a^{3}+b^{3}+c^{3}+7abc\geq 10$

Lười ko muốn gõ lại  :ukliam2:

Hình gửi kèm

  • Picture Joint Items_1_1.jpg



#644185 Giải phương trình $x^{3}-2x^{2}=(1-2x)\sqrt[3]...

Gửi bởi tungteng532000 trong 08-07-2016 - 23:01

$x^{3}-2x^{2}=(1-2x)\sqrt[3]{3x^{2}+5}+3-2x$

Lời giải
$PT\Leftrightarrow x^3-2x^2+2x-3=(1-2x)\sqrt[3]{3x^2+5}$
Ta thấy $x=\frac{1}{2}$ không phải là nghiệm
$\Rightarrow (2x-1)(x^3-2x^2+2x-3)=-(2x-1)^2\sqrt[3]{3x^2+5}<0\Rightarrow \frac{1}{2}< x\leq 1,8$
Ta có: $PT\Leftrightarrow x^3-2x^2+2x-3+(2x-1)(x+1)+(2x-1)(\sqrt[3]{3x^2+5}-x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+4)(1-\frac{2x-1}{\sqrt[3]{(3x^2+5)^2}+(x+1)\sqrt[3]{3x^2+5}+(x+1)^2})=0$
$\Leftrightarrow x=1$
Vì $1-\frac{2x-1}{\sqrt[3]{(3x^2+5)^2}+(x+1)\sqrt[3]{3x^2+5}+(x+1)^2}=\frac{\sqrt[3]{(3x^2+5)^2}+(x+1)\sqrt[3]{3x^2+5}+x^2+2}{\sqrt[3]{(3x^2+5)^2}+(x+1)\sqrt[3]{3x^2+5}+(x+1)^2}>0$
 




#644181 Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\f...

Gửi bởi tungteng532000 trong 08-07-2016 - 22:30

Tổng quát của bài toán này là: 

Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng:

$a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)\ge 2(*)$.

Bài toán trên là trường hợp cụ thể cho $a=\frac{1}{3};b=\frac{1}{2};c=1$.

Chứng minh bài toán tổng quát như sau:

Đặt $(A;X;P;Q)\rightarrow (\sum a^2;\sum x^2;\sum ab;\sum xy)$.

Khi đó: $(*)\iff \sum a(y+z)+\sum ax\ge \sum ax+2\iff (\sum a)(\sum x)\ge \sum ax+2(**)$.

Với $P=Q=1$.

Lúc này: $(**)\iff [(\sum a)(\sum x)]^2\ge (2+\sum ax)^2$

$\iff (A+2)(X+2)\ge (2+\sum ax)^2$.

Áp dụng BDT $Cauchy-Schwarz$ ta có;

$(A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2$.

Mà $\sqrt{AX}\ge \sum ax$

$\implies (A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2\ge (2+\sum ax)^2\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $x=a;y=b;z=c$

Nó vẫn chưa là tổng quát bạn ạ  :ukliam2: 
Tổng quá thì ta có thể dùng pp nhân tử langrage để tìm điểm dừng :ukliam2:




#644075 Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\f...

Gửi bởi tungteng532000 trong 08-07-2016 - 09:02

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$

Lời giải 
Ta có biến đổi sau:
$(\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6})^2-4(xy+yz+zx)=\frac{4(2y-z)^2}{9}+\frac{(z-3x)^2}{4}\geq 0\Rightarrow P\geq 2$
MinP=2 đạt được tại $z=2y=3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1$