quangminhltv99

Giá trị nhỏ nhất là $-1$ chứ nhỉ? Nếu là $-\sqrt{2+\sqrt{2}}$ thì làm sao mà đạt được?

Bài 86: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có các đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $ADC$ và $ABC$. Đường kính qua $D$ của $(O)$ giao dây cung $AN$ tại $G$. Đường thẳng qua $G$ song song với $NC$ cắt $CD$ tại $K$. Chứng minh rằng $BM\perp AK$.

Lấy $I$ sao cho $AI=2IO$ sau đó chứng minh $G$ thuộc đường tròn đường kính $AI$

Sai rồi bạn ơi. Mình tìm ra quỹ tích như thế này nhưng chưa cm được

 

 trong tam G.png   118.14K   105 Số lần tải

Bên AoPS cũng chưa thấy ai giải bài này 

Xét $x\in A$ sao cho $x$ lớn nhất. Nếu $x=1$ thì $A=\{1\}$ và ta chọn $B=\{1\}$. Nếu $x=2$ thì ta có tập $A=\{1,2\}$ hoặc $A=\{2\}$. Nếu $x=2$ thì $\sum_{a\in A}a^2=4$ và do $\sum_{a\in B}a=4$ nên $\sum_{a\in B\setminus A}a=4-2=2$, mâu thuẫn cho $2\in A$. Tương tự với $A=\{1,2\}$, ta chứng minh được $\sum_{a\in B\setminus A}a=4-2=2$, mâu thuẫn. Với $x>2$, ta xét $b=\sum_{a\in A}(a^2-a)\geq x^2-x=x(x-1)\geq 2x>x$ nên $b\notin A$. Xét $B=A\cup \{y\}$. Dễ thấy $\sum_{a\in B}a=\sum_{a\in A}a^2$. Do đó, $B$ thỏa đề. Vậy $A=\{1\}$ hoặc $A$ là tập hữu hạn bất kì thỏa mãn phần tử lớn nhất của $A$ lớn hơn 2.