Đến nội dung

quangminhltv99

quangminhltv99

Đăng ký: 13-07-2014
Offline Đăng nhập: 13-09-2018 - 22:10
-----

#715384 Max và min của $A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}...

Gửi bởi quangminhltv99 trong 10-09-2018 - 19:19

Giá trị nhỏ nhất là $-1$ chứ nhỉ? Nếu là $-\sqrt{2+\sqrt{2}}$ thì làm sao mà đạt được?


#715380 Max và min của $A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}...

Gửi bởi quangminhltv99 trong 10-09-2018 - 16:44

Cho các số thực $x,\,y$ thỏa mãn $x^2+y^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$A=x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}.$$



#709229 [TOPIC] HÌNH HỌC ÔN THI VÀO THPT CHUYÊN 2018-2019

Gửi bởi quangminhltv99 trong 25-05-2018 - 11:06

Bài 86: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ có các đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $ADC$ và $ABC$. Đường kính qua $D$ của $(O)$ giao dây cung $AN$ tại $G$. Đường thẳng qua $G$ song song với $NC$ cắt $CD$ tại $K$. Chứng minh rằng $BM\perp AK$.




#678190 2017 USAJMO

Gửi bởi quangminhltv99 trong 21-04-2017 - 11:16

Bài 1: CMR tồn tại vô hạn cặp $(a,b)$ thoả mãn $a$, $b$ nguyên tố cùng nhau và đồng thời lớn hơn 1 để $a^b+b^a$ chia hết cho $a+b$

 

Bài 2: Cho phương trình: \[(3x^3+xy^2)(x^2y+3y^3)=(x-y)^7\]

a) CMR có vô số bộ số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn phương trình trên.

b) Tìm dạng tổng quát của các nghiệm đó.

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ đều và điểm $P$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. $D, E, F$ lần lượt là giao điểm của $PA$ và $BC$, $PB$ và $AC$, $PC$ và $AB$. CMR \[ S_{DEF}=2S_{ABC}. \]

 

Bài 4: Có tồn tại bộ số $(a,b,c)$ nguyên dương sao cho $(a-2)(b-2)(c-2)+12$ là ước nguyên tố của $a^2+b^2+c^2+abc-2017$?

 

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ nhọn, $O$ và $H$ lần lượt là trực tâm và tâm ngoại tiếp của $ABC$. $M$ và $D$ là hai điểm trân $BC$ sao cho $BM=CM$ và $\angle BAD = \angle CAD$. Tia $MO$ giao $(BHC)$ tại $N$. CMR $\angle ADO = \angle HAN$.

 

Bài 6: Cho $P_1,P_2,...,P_{2n}$ là $2n$ điểm phân biệt trên đường tròn đơn vị $x^2+y^2=1$ khác điểm $(1,0)$. Mỗi điểm được tô màu xanh hoặc đỏ sao cho có đúng $n$ điểm xanh và $n$ điểm đỏ. Gọi $R_1,R_2,...,R_n$ là một cách sắp thứ tự bất kì của các điểm đỏ. Sau đó, ta đánh số các điểm xanh như sau: $B_1$ là điểm xanh gần $R_1$ nhất ngược chiều kim đồng hồ, $B_2$ là điểm xanh gần $R_2$ nhất ngược chiều kim đồng hồ và cứ thế tới khi ta đã đánh số xong $B_1,B_2,...,B_n$ điểm xanh. CMR số cung $R_i \to B_i$ chứa điểm $(1,0)$ không phụ thuộc vào cách ta chọn cách sắp thứ tự cho các điểm đỏ.




#648898 CMR có một thị trấn không thể bị "ủi" (IMO Shortlist 2015 C1)

Gửi bởi quangminhltv99 trong 10-08-2016 - 14:38

Ở "Thế giới Đường thẳng", có $n\geq 1$ thị trấn nằm dọc một đường thẳng theo chiều từ trái qua phải. Mỗi thị trấn có một máy ủi trái nằm ở bân trái thị trấn và một máy ủi phải ở bên phải thị trấn. Kích thước của $2n$ máy ủi này đôi một khác nhau. Mỗi lần khi có hai máy ủi trái và phải gặp nhau, máy ủi nào to hơn sẽ "ủi" máy còn lại ra khỏi đường đi. Tuy nhiên, các máy ủi không được chế tạo tốt lắm ở phần đuôi, thế nên khi một máy ủi ủi vào đuôi máy ủi khác, thì không kể kích cỡ của máy bị ủi như thế nào, nó sẽ bị ủi ra ngoài.

Cho hai thị trấn $A$ và $B$, $A$ nằm bên trái $B$.Ta nói thị trấn $A$ "ủi" được thị trấn $B$ nếu máy ủi phải của $A$ có thể đi tới $B$ và ủi tất cả các máy nó gặp ra khỏi đường đi. Tương tự ta nói thị trấn $B$ ủi được thị trấn $A$ nếu máy ủi trái của $B$ có thể đi tới $A$ và ủi tất cả các máy nó gặp ra khỏi đường đi.

CMR có đúng một thị trấn không thể bị ủi bởi các thị trấn khác.




#648897 Tìm tất cả các tập hữu hạn A

Gửi bởi quangminhltv99 trong 10-08-2016 - 14:24

Xét $x\in A$ sao cho $x$ lớn nhất. Nếu $x=1$ thì $A=\{1\}$ và ta chọn $B=\{1\}$. Nếu $x=2$ thì ta có tập $A=\{1,2\}$ hoặc $A=\{2\}$. Nếu $x=2$ thì $\sum_{a\in A}a^2=4$ và do $\sum_{a\in B}a=4$ nên $\sum_{a\in B\setminus A}a=4-2=2$, mâu thuẫn cho $2\in A$. Tương tự với $A=\{1,2\}$, ta chứng minh được $\sum_{a\in B\setminus A}a=4-2=2$, mâu thuẫn. Với $x>2$, ta xét $b=\sum_{a\in A}(a^2-a)\geq x^2-x=x(x-1)\geq 2x>x$ nên $b\notin A$. Xét $B=A\cup \{y\}$. Dễ thấy $\sum_{a\in B}a=\sum_{a\in A}a^2$. Do đó, $B$ thỏa đề. Vậy $A=\{1\}$ hoặc $A$ là tập hữu hạn bất kì thỏa mãn phần tử lớn nhất của $A$ lớn hơn 2.




#648591 $x^2-y^3=1$

Gửi bởi quangminhltv99 trong 08-08-2016 - 16:29

TÌm tất cả các số $x,y\in\mathbb{Z}$ thỏa mãn \[ x^2-y^3=1. \]




#635675 CMR $x^2y+y^2z+z^2x<\frac{1}{2}$

Gửi bởi quangminhltv99 trong 26-05-2016 - 13:43

Cho $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn $x+y^2+z^3=1$. CMR \[ x^2y+y^2z+z^2x<\frac{1}{2} \]




#610686 TÌm thuật toán để có "điểm số" thấp nhất (Olympiad Combinarotics - Pr...

Gửi bởi quangminhltv99 trong 24-01-2016 - 10:38

Cho $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$ và một tập $n$ số nguyên dương $b_1,b_2,...,b_n$ sao cho với mọi $i$ chạy từ $1$ tới $n$, ta có $b_i\leq a_i$. Với mỗi $i=\overline{1,n}$, ta chọn từ tập $\{1,2,3,...,a_i\}$ $b_i$ số nguyên dương phân biệt. Tổng cộng, ta chọn được $\sum\limits_{i=1}^nb_i$ số nguyên dương nhưng không phân biệt. Gỉa sử ta chọn được $k$ số phân biệt, và $c_1,c_2,...,c_k$ là số lần bị lặp của $k$ số đó. Ta gọi tổng $\sum\limits_{j=1}^kc_j(c_j-1)$ là "điểm số". Tìm một thuật toán để chọn số sao cho điểm số của bạn là thấp nhất có thể 




#593219 Tính diện tích của thiết diện

Gửi bởi quangminhltv99 trong 11-10-2015 - 12:33

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Biết $AB=a$, $AD=2a$ và tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$. Trên $AD$ lấy điểm $M$, đặt độ dài $AM$ là $x$ ($0<x<2a$). Tính diện tích thiết diện của $S.ABCD$ bị cắt bởi mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $SA$ và $CD$


#554270 $ \sqrt{8a+b^3}+\sqrt{8b+c^3}+\sqrt...

Gửi bởi quangminhltv99 trong 15-04-2015 - 22:05

Cho $ a, b, c $ là ba số không âm sao cho $ a+b+c=3 $. Cmr \[ \sqrt{8a+b^3}+\sqrt{8b+c^3}+\sqrt{8c+a^3}\ge 9 \]. Dấu bằng xảy ra khi nào


#513489 $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt...

Gửi bởi quangminhltv99 trong 17-07-2014 - 20:33

lũy thừa 2 lên, ta có:

$2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{6}}}= \sqrt[512]{2+\sqrt{3}} +\sqrt[512]{2-\sqrt{3}}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{6}}}=\sqrt[512]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[512]{2-\sqrt{3}}$

(vế trái có 9 dấu căn)

$\Leftrightarrow 2+ \sqrt{2+\cdots +\sqrt{6}}= \sqrt[256]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[256]{2-\sqrt{3}}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{2+\cdots \sqrt{6}}= \sqrt[256]{2+\sqrt{3}}+\sqrt[256]{2-\sqrt{3}}$

(vế trái có 8 dấu căn)

tiếp tục quá trình trên, ta có:

$\Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow \sqrt{6}=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow 6=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+2$(luôn đúng)




#512652 Bài toán về phuơng trình bậc 2

Gửi bởi quangminhltv99 trong 13-07-2014 - 21:18

giả sử  $\overline{abcde}$ là số tự nhiên có 5 chữ số và có ước nguyên tố lớn hơn 1998, Hỏi phương trình $\mathrm{ax^2+\overline{bc}x+\overline{de}=0}$ (ẩn x) có nghiệm hữu tỷ hay không ?

 

em chứng minh được là phương trình không có nghiệm hữu tỷ nếu $\mathrm{a, \overline{bc}, \overline{de}}$ là số lẻ nhưng đến đáy thì không làm được tiếp nên là mong mọi người chỉ giáo :P