Tìm kiếm
Nam
Cách của bạn khá phức tạp , bài này còn cách ngắn gọn hơn
do vai trò $a,b,c$ là như nhau không mất tính tổng quát $a>b>c$ ta suy ra $a-b>0,b-c>0$
$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geq \frac{2}{\frac{(a-b+b-c)^2}{4}}=\frac{8}{(a-c)^2}=\frac{8}{(c-a)^2}$
$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2}$
vậy VT $\geq (a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}$ , chứng minh kết thúc nếu chỉ ra $(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{2}$
$ \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq (c-a)^2\Leftrightarrow (a+c)^2+2b^2\geq 0$ luôn đúng ,, dấu = xảy ra khi $a+c=0, b=0$ và các hoán vị
Mình có cách khác như thế này
Chú ý rằng $a^2+b^2+c^2=\frac{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$
Bài toán quy về dạng $\sum (a-b)^2.\sum \frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{27}{2}$
Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$
Đặt $x=a-b;y=b-c$ thì $c-a=-(x+y)$ với $(x,y>0)$
Bất đẳng thức trở thành $[x^2+y^2+(x+y)^2][\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]\geq \frac{27}{2}$
Tới đây dễ dàng có $VT\geq \frac{3}{4}(x+y)^2.\frac{9}{(x+y)^2}=\frac{27}{4}$
