marcoreus101

Rất xin lỗi ae vì sự chậm trễ, thi lâu rồi mà giờ mới up, tại tưởng không đỗ nên cũng nản nản

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                

           HẢI DƯƠNG                                                   ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI

                                                                                                                NĂM HỌC 2016 - 2017

                                                                                                              Môn thi: TOÁN (Chuyên)

                                                                                 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

                                                                               (Đề thi gồm có 01 trang)  

 

 

 

 

 

 

Câu 1(2đ):

a) Rút gọn biểu thức: $A=\sqrt{\frac{a+x^2}{x}-2\sqrt{a}}+\sqrt{\frac{a+x^2}{x}+2\sqrt{a}}$ với $a,x>0$

b) Tính giá trị biểu thức $P=(x-y)^3+3(x-y)(xy+1)$ với $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}},y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}$

 

Câu 2(2đ):

a) Giải phương trình: $x^2+6=4\sqrt{x^3-2x^2+3}$

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2x+2}+1)(y+\sqrt{y^2+1})=1 & & \\ x^2-3xy-y^2=3 & & \end{matrix}\right.$

 

Câu 3(2đ):

a) Tìm dạng tổng quát của số nguyên dương $n$ biết $M=n.4^n+3^n$ chia hết cho 7

b) Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn $(x^2+4y^2+28)^2-17(x^4+y^4)=238y^2+833$

 

Câu 4(3đ):

Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là điểm di chuyển trên đường tròn (O) (A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. M là điểm đối xứng của điểm A qua điểm B.

a) Chứng minh điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.

b) Đường thẳng MH cắt (O) tại E và F (E nằm giữa M và F). Gọi I là trung điểm của HC, đường thẳng AI cắt (O) tại G (G khác A). Chứng minh: $AF^2+FG^2+GE^2+EA^2=2BC^2$

c) Gọi P là hình chiếu vuông góc của H lên AB. Tìm vị trí của điểm A sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP đạt giá trị lớn nhất.

 

Câu 5(1đ): Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa $a+b+c=1$

Tìm Min $Q=14(\sum a^2)+\frac{\sum ab}{\sum a^2b}$

 

Đề dễ làm ngu

MOD sửa lại cho đẹp ạ, thanks

Cách của bạn khá phức tạp , bài này còn cách ngắn gọn hơn

do vai trò $a,b,c$ là như nhau không mất tính tổng quát $a>b>c$  ta suy ra $a-b>0,b-c>0$ 

 

$\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}\geq \frac{2}{(a-b)(b-c)}\geq \frac{2}{\frac{(a-b+b-c)^2}{4}}=\frac{8}{(a-c)^2}=\frac{8}{(c-a)^2}$

 

$\Rightarrow \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{(c-a)^2}$

 

vậy VT $\geq (a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}$    , chứng minh kết thúc nếu chỉ ra $(a^2+b^2+c^2)\frac{9}{(c-a)^2}\geq \frac{9}{2}$

$ \Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq (c-a)^2\Leftrightarrow (a+c)^2+2b^2\geq 0$    luôn đúng ,, dấu = xảy ra khi $a+c=0, b=0$ và các hoán vị

Mình có cách khác như thế này

Chú ý rằng $a^2+b^2+c^2=\frac{(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}\geq \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3}$

Bài toán quy về dạng $\sum (a-b)^2.\sum \frac{1}{(a-b)^2}\geq \frac{27}{2}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a>b>c$ 

Đặt $x=a-b;y=b-c$ thì $c-a=-(x+y)$ với $(x,y>0)$

Bất đẳng thức trở thành $[x^2+y^2+(x+y)^2][\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2}]\geq \frac{27}{2}$

Tới đây dễ dàng có $VT\geq \frac{3}{4}(x+y)^2.\frac{9}{(x+y)^2}=\frac{27}{4}$

1) Cho $x,y$ là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho $4x^2y^2-7x+7y$ là số chính phương. Chứng minh $x=y$

 

2) Cho $x,y$ là những số tự nhiên khác 0 và $2xy|x^2+y^2-x$. Chứng minh rằng x là số chính phương.

 

3)Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $\frac{n^3-1}{5}$ là số nguyên tố

Balkan MO 2005

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p^2-p+1$ là lập phương đúng của một số tự nhiên

Em tìm được trên AoPS cách giải này nhưng không hiểu sao lại có $p>q$

Ai giải thích hay có lời giải khác không ạ??

 

Câu 3a http://diendantoanho...54x31y3pt-no-z/

Câu hệ ta giải như sau : $4x=x^2+y^2+3 \rightarrow 12x=3x^2+3y^2+9$ thế vào pt $(2)$ 
$x^3+y^3+3x^2+3y^2+9=6x^2+9 \leftrightarrow (y+x)(y^2-y(x-3)+x^2-3x)=0$  
$y=-x$ ... 
$x^2+y^2=3x-3y+yx=4x-3 \rightarrow -x-3y+yx+3=3-x+y(x-3)=(3-x)(1-y)$

Phức tạp quá thím

Hệ $\left\{\begin{matrix} (x-2)^2+y^2-1=0 & & \\ (x-2)^3+y^3-1=0 & & \end{matrix}\right.$

Đây là hệ đối xứng loại I

3) Có $2\sqrt{1+8y^3}=2\sqrt{(2x+1)(4x^2-2x+1)}\leq 4x^2+2$

 

Suy ra $P\geq \sum \frac{x}{xy+y^3}=\sum \frac{1}{x}-\sum \frac{x}{x^2+z}\geq \sum \frac{1}{x}-\sum \frac{1}{\sqrt{x}}$ (AM-GM ngược dấu)

 

Đến đây ta lại có $P\geq \frac{3}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{x}}-3\geq \frac{27}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}})-3\geq \frac{27}{2\sqrt{3(x+y+z)}}-3=\frac{3}{2}$

(Cauchy-Schwarz)

 

Dấu bằng khi $x=y=z=1$

Tự đăng tự giải

2) $3(x+y+z)=x^2+y^2+z^2+2xy=(x+y)^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{2}\rightarrow (x+y+z)\leq 6$

 

$P\geq \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{x+y+z+2}}+x+y+z=\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{x+y+z+2}}+\frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{x+y+z+2}}+\frac{5}{4}(x+y+z+2)-\frac{1}{4}(x+y+z)-\frac{5}{2}\geq ...$

 

Dấu bằng $(x,y,z)=(1,2,3)$

1) Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^2+y^2+z^2\leq \frac{3}{4}$. Tìm min 

$P=4(x+y)(y+z)(z+x)+\frac{1}{2}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})$

 

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^2+y^2+z^2+2xy=3(x+y+z)$. Tìm min

$P=x+y+z+\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}$

 

3) CHo $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=3$. Tìm min

$P=\sum \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3})+4x-2}$

1) TÌm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó bằng lập phương tổng các chữ số của nó

2) Tìm hai chữ số tận cùng của tổng $S=1^{2001}+2^{2001}+3^{2001}+...+2001^{2001}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{xy+yz+zx}$

Gọi $M$ và $N$ là hai đa giác đều, có tỉ số giữa số đo các góc trong của chúng là $\dfrac{7}{9}$. Tính số đường chéo của mỗi đa giác.

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $6a+3b+2c=abc$. Tìm GTLN của :

$B=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\dfrac{3}{\sqrt{c^2+9}}$

Cho $n$ và $k$ là các số tự nhiên, $A=n^{4}+4^{2k+1}$

Chứng minh rằng với p là ước nguyên tố lẻ của $A$ ta luôn có $4\mid p-1$

Thầy bổ sung anh Dogsteven tên thật là "Huỳnh Bách Khoa" đi ạ