huy2403exo

$(x^2+\frac{y^2}{2})+(z^2+\frac{y^2}{2})\geq 2\sqrt{\frac{x^2y^2}{2}}+2\sqrt{\frac{y^2z^2}{2}}=\sqrt{2}(xy+yz)$

2.Cho các số $x,y,z$ dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3xyz$.CMR

$\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\leq \frac{3}{2}$

$3xyz=x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\Leftrightarrow xyz\geq 1$

$\sum \frac{x^2}{x^4+yz}=\sum \frac{1}{x^2+\frac{yz}{x^2}}\leq \sum \frac{1}{2\sqrt{yz}}= \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2\sqrt{xyz}}$

Nhận xét : $9xyz=3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\Leftrightarrow 3\sqrt{xyz}\geq x+y+z$

$9\sqrt{xyz}\geq 3(x+y+z)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\Leftrightarrow 3\sqrt[4]{xyz}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

$\Leftrightarrow VT\leq \frac{3\sqrt[4]{xyz}}{2\sqrt{xyz}}=\frac{3}{2}. \frac{1}{\sqrt[4]{xyz}}\leq \frac{3}{2}$

Bài 3 : Dùng định lí hàm số cos tính BC rồi áp dụng công thức trung tuyến $AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}$

2a) 

$\Leftrightarrow x^2-9+12x+36+\left ( \frac{x+6}{x+5} \right )^2-\frac{9}{4}=0$

 $\Leftrightarrow (x+3)(x+9)-\frac{(x+3)(5x+27)}{4x^2+40x+100}=0$

 $\Leftrightarrow (x+3)\left [ x+9-\frac{5x+27}{4x^2+40x+100} \right ]=0$

Đến đây thì dễ rồi , vế sau thì nhân chéo ra bậc 3 

giải pt: $x^{3}+(x+1)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2})^{3}$

Đặt $\sqrt{x+1}=y$ và $\sqrt{2}=z$ phương trình đưa về dạng $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3$ $\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=0$