huy2403exo

$(x^2+\frac{y^2}{2})+(z^2+\frac{y^2}{2})\geq 2\sqrt{\frac{x^2y^2}{2}}+2\sqrt{\frac{y^2z^2}{2}}=\sqrt{2}(xy+yz)$

2.Cho các số $x,y,z$ dương thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3xyz$.CMR

$\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\leq \frac{3}{2}$

$3xyz=x^2+y^2+z^2\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}\Leftrightarrow xyz\geq 1$

$\sum \frac{x^2}{x^4+yz}=\sum \frac{1}{x^2+\frac{yz}{x^2}}\leq \sum \frac{1}{2\sqrt{yz}}= \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2\sqrt{xyz}}$

Nhận xét : $9xyz=3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2\Leftrightarrow 3\sqrt{xyz}\geq x+y+z$

$9\sqrt{xyz}\geq 3(x+y+z)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2\Leftrightarrow 3\sqrt[4]{xyz}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$

$\Leftrightarrow VT\leq \frac{3\sqrt[4]{xyz}}{2\sqrt{xyz}}=\frac{3}{2}. \frac{1}{\sqrt[4]{xyz}}\leq \frac{3}{2}$

2a) 

$\Leftrightarrow x^2-9+12x+36+\left ( \frac{x+6}{x+5} \right )^2-\frac{9}{4}=0$

 $\Leftrightarrow (x+3)(x+9)-\frac{(x+3)(5x+27)}{4x^2+40x+100}=0$

 $\Leftrightarrow (x+3)\left [ x+9-\frac{5x+27}{4x^2+40x+100} \right ]=0$

Đến đây thì dễ rồi , vế sau thì nhân chéo ra bậc 3 

giải pt: $x^{3}+(x+1)\sqrt{x+1}+2\sqrt{2}=(x+\sqrt{x+1}+\sqrt{2})^{3}$

Đặt $\sqrt{x+1}=y$ và $\sqrt{2}=z$ phương trình đưa về dạng $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3$ $\Leftrightarrow 3(x+y)(y+z)(z+x)=0$

2/ Cho x, y, z >0 t./m x+y+z+1=4xyz. C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3$ 

Dựa vào điều kiện : $\Leftrightarrow 2x+2y+2z+2=2x.2y.2z$

Đặt $x=\frac{b+c}{2a}$ ; $y=\frac{c+a}{2b}$ ; $z=\frac{a+b}{2c}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\left ( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right )\geq 2.\frac{3}{2}=3$

cmr : $\frac{1}{a +3b} + \frac{1}{b +3c} + \frac{1}{c +3a}\geq \frac{1}{a +2b +c}+\frac{1}{b +2c +a}+\frac{1}{c +2a +b}$ ( a,b,c>0 ) 

$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+2c+b}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

Tương tự cộng các vế => đpcm 

$2(a^4+b^4)-ab^3-a^3b-2a^2b^2= (a-b)^2(2a^2+3ab+2b^2)\geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b$

$T^2\leq 3\left ( \sum \frac{a}{6a^2+9} \right )\leq 3\left ( \sum \frac{a}{7\sqrt[7]{9a^{12}}} \right )=\frac{3}{7}\sum \frac{1}{\sqrt[7]{9a^5}}\leq \frac{3}{49}\left ( \frac{2}{3}+\frac{5}{a} \right )$

Có : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\leq 1$

Nên $T\leq \sqrt{\frac{3}{7}}$

Bài 1. CMR: $\frac{a}{a^2+2b+2c+1}+\frac{b}{b^2+2c+2a+1}+\frac{c}{c^2+2a+2b+1}\leq \frac{1}{2}$

$\sum \frac{a}{a^2+2b+2c+1}\leq \sum \frac{a}{2a+2b+2c}= \frac{1}{2}\sum \frac{a}{a+b+c}=\frac{1}{2}$

$\left [\sum \frac{a}{(ab+a+1)^2}\right ](a+b+c)\geq \left [ \sum \frac{a}{ab+a+1} \right ]^2=1$ ( do $abc=1$)

Giả sử $a+b+c> 3$ ta chứng minh giả thiết bài toán vô lí 

Thật vậy , từ $abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)> (3-2a)(3-2b)(3-2c)$ ta suy ra 

$3abc> 9-6(a+b+c)+4(ab+bc+ca)$ thay vào giả thiết :

$9=2(a^2+b^2+c^2)+3abc> 2(a^2+b^2+c^2)+9-6(a+b+c)+4(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)-6(a+b+c)+4(ab+bc+ca)< 0$

Đặt $a+b+c=x$ và $ab+bc+ca=y$

$\Leftrightarrow 2(x^2-2y)-6x+4y< 0\Leftrightarrow 2x^2-6x< 0\Leftrightarrow 2x(x-3)< 0$ ( vô lí vì $a+b+c>3$)

Nên giả sử sai => đpcm 

$\frac{k}{(k-2)!+(k-1)!+k!}=\frac{k}{(k-2)!k+k!}=\frac{1}{(k-2)!+(k-1)!}=\frac{1}{(k-2)!k}= \frac{1}{2}\left ( \frac{k-(k-2)}{(k-2)!k} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{(k-2)!}-\frac{1}{k!} \right )$

Đến đây chắc dễ rồi   

$\Leftrightarrow \frac{y}{x+y}=\frac{1}{2015}\Leftrightarrow 2015y=x+y\Leftrightarrow x=2014y$

Do $y\in N^{*}\Rightarrow y_{min}=1\Rightarrow x_{min}=2014$

Do $ab$ chẵn nên ta xét 2 TH

TH1 : $a$ chẵn, $b$ lẻ $\Rightarrow a^2+b^2=4m+1$ khi đó chọn $c$ có dạng $2m$ ta luôn có $a^2+b^2+c^2=4m^2+4m+1=(2m+1)^2$ (đpcm)

TH2 : $a;b$ chẵn => $a^2+b^2=4n$ Khi đó chọn $c$ có dạng $n-1$ ta luôn có $a^2+b^2+c^2=n^2+2n+1=(n+1)^2$ (đpcm)

Tìm nghiệm nguyên của:   $-4x^{2}+8y^{3}-2z^{2}-4x+4=0$

$\Leftrightarrow 4y^3-z^2=2x^2+2x-2\Leftrightarrow z\vdots 2\Leftrightarrow z^2\vdots 4$

$\Leftrightarrow 2x^2+2x-2\vdots 4\Leftrightarrow x^2+x-1\vdots 2$

Vô lí vì $x(x+1)$ chia hết cho 2

Vậy phương trình vô nghiệm