Livetolove220797

Câu 5 : Ta biến đổi HPT trên dưới dạng sau : 

 

                  $\left\{\begin{matrix} (x-y)^{2}+2xy+4(x-y)=6 & \\ (x-y)((x-y)^{2}+3xy)+6(x-y)^{2}+12xy=32 & \end{matrix}\right.$ (*)

Đặt $\left\{\begin{matrix} x-y=S & \\ xy=P & \end{matrix}\right.$ 

Ta viết lại (*) :

                          $\left\{\begin{matrix} S^{2}+4S+2P=6 (1) & \\ S(S^{2}+3P)+6S^{2}+12P=32 (2)& \end{matrix}\right.$

Rút P từ pt (1) và pt (2) ta có phương trình sau :

                                       $S^{3}+12S^{2}+30S-8=0$ (**)

Ta suy ra PT (**)  có 3 nghiệm phân biệt :

                                                       $\left\{\begin{matrix} S_{1}=-4 & & \\ S_{2}=-4-3\sqrt{2} & & \\ S_{3}=3\sqrt{2}-4 & & \end{matrix}\right.$

           Từ S ta suy ra P .Từ đó ta có 3 nghiệm của pt (*) là :

                                            $\left\{\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x=\sqrt{7}-2 & \\ y=2+\sqrt{7} & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} x=\frac{-4-3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} & \\ y=\frac{-4-3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} & \end{matrix}\right. & & \\ \left\{\begin{matrix} x=\frac{4+\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{2} & \\ y=\frac{4-\sqrt{10}-3\sqrt{2}}{2} & \end{matrix}\right. & & \end{matrix}\right.$ 

                                                 

 Lời giải của bạn đúng hướng rồi nhưng bạn tính toán nhầm thì phải?

 Nếu để ý thì hệ phương trình này đối xứng giữa $x$ và $-y$.

 Ta có thể giải bằng cách đặt: $x+2=a$ và $y-2=b$.

Có thể là cách này (bạn tham khảo nhé ):
Không mất tính tổng quát giả sử:$c\geq b\geq a$.Ta phải chứng minh :
$a+b-ab\geq \frac{4-a-b}{ab+1}(a+b-1)$
$\Leftrightarrow (a+b-2)^{2}\geq ab(a-1)(b-1)$
Bất đẳng thức này đúng vì theo AM-GM và giả thiết thì :
$(a+b-2)^{2}\geq 4(a-1)(b-1)\geq ab(a-1)(b-1)$
Vậy ta có ĐPCM.

Bạn xem lại chỗ này nhé vì chưa biết $a-1, b-1$ dương hay âm mà?

Một cách khác!

Giải:

Đặt $(x;y;z)=(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c})$. BĐT cần C/m $\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$ 

Từ GT $\Rightarrow ab+bc+ca+abc=4$

$\Rightarrow \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1$. 

Đặt $a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow m^3+n^3+p^3+3mnp\geq mn(m+n)+np(n+p)+pm(p+m)$ (BĐT này luôn đúng vì đây là BĐT Schur)

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

$(x;y;z)=\left (\dfrac{b+c}{2a}; \dfrac{c+a}{2b}; \dfrac{a+b}{2c} \right)$

 

$xy+yz+zx \ge x+y+z \Leftrightarrow \sum \dfrac{c(b+c)(c+a)}{4abc} \ge \sum \dfrac{2bc(b+c)}{4abc}$

 

$\Leftrightarrow a(a+b)(a+c)+b(b+c)(b+a)+c(c+a)(c+a) \ge 2ab(a+b)+2bc(c+c)+2ca(c+a)$

 

$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Bạn có thể giải thích tại sao lại đặt được như vậy không?

 Có ai giải câu tổ hợp một cách chặt chẽ và hoàn chỉnh cho mình được không?

 Mình cám ơn