arsfanfc

Cho $x,y,z>0$

Chứng minh : $\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(z+x)} \geq \frac{5}{3}$

Nhận xét : $x = 0$ không là nghiệm của pt.

xét $x \neq 0$

chia 2 vế của pt cho $x^3$

 $-2 + \frac{10}{x} - \frac{17}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 2.\sqrt[3]{\frac{5}{x^{2}}-1}$

$\Leftrightarrow \left(\frac{2}{x}-1 \right)^{3}+2.\left(\frac{2}{x}-1 \right)=\left(\frac{5}{x^{2}}-1 \right)+ 2.\sqrt[3]{\frac{5}{x^{2}}-1}$

$\Rightarrow \frac{2}{x}- 1 = \sqrt[3]{\frac{5}{x^{2}}-1}$

Họ tên : Nguyễn Văn Thìn 

Nick trong diễn đàn ( nếu có ): arsfanfc

Năm sinh : 2000

Hòm thư : [email protected]

Dự thi cấp : THCS, THPT

1.Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR: 

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}})\leq 2$

 

Cho x,y>0 và $x+y \leq 1$

Tìm GTNN của $B = \frac{1}{x^{3}+y^{3}} +\frac{1}{xy}$

$x^3+y^3 =(x+y)(x^2-xy+y^2) \leq (x^2-xy+y^2) =(x+y)^2 -3xy \leq 1-3xy$

$=> \frac{1}{x^3+y^3} +\frac{1}{xy} \geq \frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy} \geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1}=4+2\sqrt{3}$

Bài 1: Giải PT nghiệm nguyên dương : $(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$

Bài 2: Giải phương trình :

$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+...+[\sqrt{x^2-1}]=y$ với y nguyên tố

Ta có: $\left\{\begin{matrix} y^{6}+y^{3}+x^{2}=\sqrt{\frac{1}{4}-\left ( xy-\frac{1}{2} \right )^{2}} \leq \frac{1}{2}\\ 4xy^{3}+y^{3}-2x^{2}+\frac{1}{2}\geq 1 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y^{6}+y^{3}+2x^{2}\leq \frac{1}{2}+2x^{2}(1)\\ 4xy^{3}+y^{3}\geq \frac{1}{2}+2x^{2} \end{matrix}\right.(2)$

Do đó: (1),(2) $\Rightarrow y^{6}+y^{3}+4x^{2}\leq 4xy^{3}+y^{3}$

                       $\Leftrightarrow y^{6}-4y^{3}x+4x^{2}\leq 0$

                       $\Leftrightarrow (y^{3}-2x)^{2}\leq 0$

                       $\Leftrightarrow y^{3}=2x$

Đến đây được chưa

Định viết thêm đoạn này mà sợ sai

Vậy hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y\\ 2x=y^{3}\\ xy=1\\ 4x^{2}+2x=1+x^{2} \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow x=y=-1$

 

P/s: Sai sót là không thể tránh khỏi

sai từ đây :$ y^6+y^3+2x^2 \leq \frac{1}{2}$ ( con số 2 )

p/s : cách làm củng tương tự của chị thôi

Ta có :$ y^6+y^3+2x^2 \leq \frac{1}{2}$

$=> 4xy^3+y^3 +\frac{1}{2} \geq 4xy^3+2y^3+y^6+2x^2 (1)$

mà$ 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} (2)$

$(1)+(2) <=> 8xy^3+2y^3+1 \geq 4xy^3+2y^3+y^5+4x^2+\sqrt{1+(2x-y)} $

$<=> 4xy^3+1 \geq y^6+4x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}$

$<=> 1 -\sqrt{1+(2x-y)^2} \geq y^6+4x^2-4xy^3 =(y^3-2x)^2 $

$\left\{\begin{matrix} 1-\sqrt{1+(2x-y)^2} =0& \\ y^3-2x=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-y)^2=0& \\ y^3=2x& \end{matrix}\right.$

$=> (x;y) =(-\frac{1}{2};-1)$

                                               Yên tâm đi Tuấn ơi hãy cố gắng

                                               Thời gian ấy là để thử lòng em

                                               Dẫu dòng đời không bao giờ vắng lặng

                                               Thì hãy giữ tâm hồn tựa mặt trăng

                                               Hãy tin vào một tình yêu trong trắng

                                               Chớ giao lòng trước người bạn mới quen

                                               Rồi một ngày trên đoạn đường đầy nắng

                                              Anh tin rằng hai đứa sẽ gặp nhau

                                      Bác Tuấn nhà ta vốn thật thà

                                      Yêu thật lòng người con gái

                                      Nhưng mà ý trời khó đoán 

                                      Lỡ nó yêu thằng khác thì sao???

p/s : Bác Tuấn ơi đừng ném đá      

Tìm Min $\sum \frac{a}{a^2+8bc}$ biết $a+b+c=1$

Đề thiếu $a,b,c >0 $

Ta có :

$P=\sum \frac{a^2}{a^3+8abc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}$

Ta chứng minh được$ (a+b+c)^3 \geq a^3+b^3+c^3 +24abc$

$=> P \geq a+b+c=1$

Gọi $O,L,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,AB,DC$ .Khi đó hoàn toàn chứng minh được $LMNO$ là hình bình hành 

Thực hiện phép bị tự tâm $M$ tỉ số $\frac{2}{3}$

 Biến $\left\{\begin{matrix} M\rightarrow M & & & \\ L\rightarrow E& & & \\ O\rightarrow G& & & \\ N\rightarrow F& & & \end{matrix}\right.$

Từ đó suy ra $EMFG$ là hình bình hành 

Spoiler

bạn trên trả lời đúng

chưa cần phải biến gì cả       tại em chưa hok nên áp dụng của lớp 9 thôi

Ta có $EM // AC(1) $( vì đường trung bình )

Gọi $P, Q$ lần lượt trung điểm của  $AD$ và $CD$

$GF //  PQ (2)$( theo ta let trong tam giác PMQ)

mà $PQ // AC(3)$ ( vì đường trung bình)

Từ ($1),(2),(3) => GF//EM$

Tương tự thì sẻ cm được $GEFM $là hình bình hành

Đoạn này anh làm kĩ hơn được không ? Em vẫn chưa hiểu

chắc bạn hãy xem lại bđt C-S

$(1. \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b}}+1.\frac{b+c}{\sqrt{b^2+c}})^2 \leq (1^2+1^2)(\frac{(a+b)^2}{(\sqrt{a^2+b})^2}+\frac{(b+c)^2}{(\sqrt{c^2+b})^2}) =....$

vì$ a+b+c=1 => b(a+b+c)=b $rồi thay vào thôi

1Cho x,y>0 C/m: $x^y+y^x>1$

 

http://diendantoanho...h-rằng-xy-yx-1/

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                                           ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                             NĂM HỌC 2015-2016

                                                      Thời gian làm bài: 180 phút 

                                                        (Lần 1, ngày 14/08/2015)

 

        2/ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$.Tìm GTNN của:    

$$P=\frac{a+1}{a^2+3a}+\frac{b+1}{b^2+3b}+\frac{c+1}{c^2+3c}$$

 

ta có : $\frac{a+1}{a^2+3a} -\frac{1}{2}+\frac{3}{8}(a-1) =\frac{(a-1)^2(3a+8)}{8(a^2+3a)} \geq 0$

$=> \frac{a+1}{a^2+3a} \geq \frac{1}{2}-\frac{3}{8}(a-1)$

$=> P \geq \frac{3}{2} -\frac{3}{8}(a+b+c-3) \geq \frac{3}{2}$

$=x^4-x^3-\sqrt{2}x^2+x^3-x^2-\sqrt{2}x+x^2-x-\sqrt{2}-(\sqrt{2}x^2-\sqrt{2}x-2)=(x^2-x-\sqrt{2})(x^2+x+1-\sqrt{2})$