Nguyen Thi Thuy Nhung

nhưng ở bài này có cho đk này đâu 

thử bộ số a=0,1 b=0,2 c=0,3 khong thoa man dk $ab+bc+ca+abc\geq 4$

0,1.0,2.0,3 khác 1 bạn nhé!

 

 

 

 

Một ví dụ thuyết phục hơn là : với $a=2;b=6;c=\frac{1}{12}$ thì $abc=1$ nhưng $a+b+c<ab+bc+ca$

 

Cảm ơn bạn đã phát hiện lỗi sai. Mình sẽ xem lại.

đk là abc=1

abc=1 thì sao hả bạn? Ta đã sử dụng điều kiện này ở BĐT $ab+bc+ca+abc \geq 4$ 

BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$

Biến đổi tương đương cho ta BĐT là $a+b+c \geq ab+bc+ca$

Chứng minh được BĐT trên suy ra BĐT đầu là đúng, ta có đpcm.

Ta có: $ab+bc+ca+abc \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc=4$

$\Leftrightarrow c(a+b+ab) \geq 4-ab$

$\Leftrightarrow c \geq \frac{4-ab}{a+b+ab}\ (1)$

Trong 3 số $a-1, b-1, c-1$ có 2 số có tích không âm. Giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0$

$\Leftrightarrow c(a-1)(b-1) \geq 0$

$abc+c \geq ac+bc\ (2)$

Từ (1) và (2) có:

$ab+bc+ca \leq ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab}$

Ta cần cm: $ ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+c$

$\Leftrightarrow ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+\frac{4-ab}{a+b+ab}$

$\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ (đúng)

Ta có đqcm. 

Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$

$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$

Tương tự, ta có BĐT sau:

$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$

Ta cần chứng minh: $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}+ \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow  ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)

Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/

Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Mình xin đóng góp 1 bài 

Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh

                    $3a^2+3b^2+3c^2+4abc \geq 13$

Ta có: $3-2a=a+b+c-2a=b+c-a >0$. Tương tự, ta có: $3-2b>0, 3-2c>0$

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

$(3-2a)(3-2b)(3-2c) \leq (\dfrac{3-2a+3-2b+3-2c}{3})^3=1$

$\Leftrightarrow 27-9(2a+2b+2c)+12(ab+bc+ac)-8abc \leq 1$

$\Leftrightarrow 27-54+12(ab+bc+ca)-8abc \leq 1$

$\Leftrightarrow 4abc \geq 6(ab+bc+ca)-14$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 3(a+b+c)^2 -14=13$

Đắng thức xảy ra khi $a=b=c=1$