quangbinng

Giả thiết các ma trận đều thoả mãn điều kiện ban đầu của bài toán

1/ Chứng minh 2 ma trận $AB,BA$ có cùng đa thức đặc trưng

2/ Với mọi ma trận $A=B+C$ với $B$ luỹ linh và $C$ chéo hoá được thì $BC=CB$

3/a. Với mọi số $n$ khác 0 luôn tồn tại ma trận cấp n thoả mãn $A^{3}=A+I$

   b. Định thức của ma trận thoả mãn câu a luôn dương

Câu 1 đúng vì $\det(AB-\lambda.E)=\det(BA-\lambda.E)$

chứng minh cho $A$ khả nghịch thì đơn giản, trường hợp không khả nghịch thì $A-\epsilon.E$ sẽ khả nghịch, tồn tại vô số $\epsilon$ cho đẳng thức đúng mà nó lại là 2 đa thức bằng nhau cho nên khi $\epsilon=0$ thì nó cũng đúng.

Câu 3. Ta chỉ cần chọn A là ma trận đường chéo có các phần tử đều bằng $\lambda$ trong đó, $\lambda$ là nghiệm của phương trình $x^3=x+1$.

b. $I=A(A^2-I)=A(A-I)(A+I)=A(A-I)A^3=A^4(A-I)$

như vậy thì  do $|A|^4$ là số dương cho nên $|A-I|$ cũng phải dương vì $\det I=1$.

Lại có $|A|=|A^3-I|=|A-I||A^2+A+I| \ge 0$ vì $|A^2+A+I| \ge 0$ và ở trên thì ta đã luận ra được là $|A-I| \ge 0$ 

p/s: chú đi thi olp toán không, làm quen đi

 

Bài này gần đây mình có gặp trên AoPS và có nhận định sai về bài toán nên đã đề xuất bài toán mới dễ hơn, tuy nhiên bài toán gốc mới hay và khó, dưới đây là lời giải cho bài toán gốc và bài toán mình đề xuất, các bạn thử với bài mình đề xuất nhé :3
[hide='Lời giải']
​

Bổ đề. Cho $a, b \in \mathbb{C}$, ta có bất đẳng thức $|a + b| \le |a| + |b|$, dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu $\text{Re}(a).\text{Im}(b) = \text{Im}(a).\text{Re}(b)$
Hệ quả. Ta có $|a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}| \le |a_{1}| + |a_{2}| + \cdots + |a_{n}|$ và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\text{Re}(a_{i}).\text{Im}(a_{j}) = \text{Im}(a_{i}).\text{Re}(a_{j})$ với mọi $i \neq j$
​Bổ đề trên là hiển nhiên, mình sẽ không chứng minh lại.

 

Quay lại bài toán, dễ thấy nếu $z = -1$ thì $n$ lẻ từ đó suy ra $z^{n + 1} = 1$. Xét $z \neq -1$
i) Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $|z| = 1$. Dĩ nhiên, $z \neq 1$, hay $\text{Im}(z) \neq 0$. Vì $z$ là một nghiệm của đa thức đã cho:
$$P(z) = 0 \implies (z - 1)P(z) = 0 \implies z^{n + 1} = (1 - a_{n - 1})z^{n} + (a_{n - 1} - a_{n - 2})z^{n - 1} + \cdots + (a_{1} - a_{0})z + a_{0}$$
Áp dụng hệ quả , \begin{align*} |z|^{n + 1} & = |(1 - a_{n - 1})z^{n} + (a_{n - 1} - a_{n - 2})z^{n - 1} + \cdots + (a_{1} - a_{0})z + a_{0}| \\&\le (1 - a_{n - 1})|z|^{n} + (a_{n - 1} - a_{n - 2})|z|^{n - 1} + \cdots + (a_{1} - a_{0})|z| + |a_{0}|\\&\le |z|^{n}[(1 - a_{n - 1}) + (a_{n - 1} - a_{n - 2}) + \cdots + \cdots + (a_{1} - a_{0}) + a_{0}] \\&= |z|^{n} \end{align*}
Điều này suy ra $|z| \le 1$. Từ giả thiết, ta thu được $|z| = 1$

 

Cái đoạn này cứ sao sao ấy, chẳng lẽ cứ đa thức nào có 1 nghiệm và mô đun của nó lớn hơn hoặc bằng 1 thì mô đun của nghiệm đó sẽ bằng 1????

lấy ví dụ với $(x-1)(x-2)(x-3)$ thì làm gì đúng nhỉ??

ko i

Dùng giấy trong, ta vẽ sẵn một lưới ô vuông vừa đủ với vết mực , sau đó, ta di chuyển các ô vuông nhỏ cạnh = 1 sang cùng một ô không có vết mực. Suy ra, khi đó vết mực sẽ nằm lọt trong ô vuông đó(vì diện tích vết mực <1) Giả sử vị trí A khoog có vết mực. lấy kim đánh dấu B. Rải các ô vuông trở lại vị trí ban đầu. Khi di chuyển về rồi thì điểm B vẫn nằm ở vị trí tương ứng. Sau đó kẻ 1 lưới ô vuông mới kẻ qua điểm B. Suy ra lưới ô vuông này không có nút lưới (đỉnh) nào có mực

ko hiểu cách giải lắm

Cho mình hỏi ma trận phù hợp là gì với ? @@ ý là ma trận nghịch đảo á hả ?

đây là ma trận phụ hợp này :

https://en.wikipedia...Adjugate_matrix

$\begin{vmatrix} 3& 2& 0& ...& 0& 0\\ 1& 3& 2& ...& 0& 0\\ 0& 1& 3& ...& 0& 0\\ ...& & & & & \\ 0& 0& 0& ...& 3& 2\\ 0& 0& 0& ...& 1& 3\end{vmatrix}$

Bạn giải thích rõ hơn cho mình khúc đỏ đỏ được ko?

một ma trận A nhé, nếu  tất cả các phần tử của 1 dòng  của ma trận A đều được nhân với $\alpha$ thì định thức của nó sẽ được nhân thêm $\alpha$:

ví dụ :

$\begin{vmatrix} &\alpha.a  &\alpha.b  &\alpha.c \\& d &e &f \\ &g &h &i \end{vmatrix}=\alpha. \begin{vmatrix} &a  &b  &c \\ &d &e &f \\ &g &h &i \end{vmatrix}$ 

như vậy thì đương nhiên $|-X|=(-1)^n|X|$ rồi vì ma trận $-X$ có n dòng, mà mỗi dòng đều được nhân thêm số $\alpha=-1$ mà