quangbinng

Bài 1: Trên đoạn thẳng có độ dài 1 ta tô một số đoạn thẳng sao cho khoảng cách giữa  hai điểm bất kì được tô không bằng 0,1. Chứng minh rằng tổng độ dài các đoạn thẳng được tô không lớn hơn 0,5

Bài 2:  Một cái áo có diện tích 1 có 5 miếng vá, mà diện tích của mỗi miếng vá không nhỏ hơn 0,5. Chứng minh rằng luôn tìm được hai miếng vá có diện tích phần chung của chúng không nhỏ hơn 0,2.

Bài 3: Cho một tờ giấy kẻ Caro vô tận và một hình có diện tích nhỏ hơn diện tích một ô giấy. Chứng minh rằng hình đó có thể đặt trên giấy để nó không che một đỉnh ô vuông nào

Cho $p$ lfa số nguyên tố và $\epsilon=e^{\frac{2\pi}{p}}$. Thì tất cả các định thức con của ma trận Vandermonde $||a_{ij}||_0^{p-1}$, ở đây $a_{ij}=\epsilon^{ij}$ là khác $0$.

Em lấy trong quyển Problem and theorem của Prasolov trang 25, định lí 2.8

nhưng em không hiểu cách giải lắm

Đây là file giải nhưng em thấy chỗ in đậm ạ,

với mỗi $n$ thì ta phải có 1 cái $c_n$ khác nhau, chứ nó đâu có cố định ạ, và chẵng hạn $c_n=1-\frac{1}{n}$ thì nó sẽ tiến đến

$f(e^{-1})$ chứ không phải là $f(0)$ ạ?

Cho $U,V$ và $U+V$ là các toán tử tuyến tính chiếu, tức  $U^2=U \ ,V^2=V \ ,(U+V)=(U+V)^2$

 

Chứng minh rằng $ \operatorname{Im} (U+V)=\operatorname{Im} U+\operatorname{Im} V$

 

Em thấy là $\operatorname{Im} (U+V) \subset (\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)$

Như vậy để chứng minh 2 không gian này bằng nhau thì chỉ cần chứng minh chúng có cùng chiều.

Thì em biết là

$\begin{align} \operatorname{dim}  (\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)&=\operatorname{dim}  \operatorname{Im} U+\dim  \operatorname{Im} V-\operatorname{dim} (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V) \\ &=\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V -\operatorname{dim} (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V) \end{align}$ 

còn $\dim \operatorname{Im} (U+V)=\operatorname{rank} (U+V)=\operatorname{Trace}(U+V)=\operatorname{Trace} U+\operatorname{Trace} V=\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V $

Như vậy thì cần phải chứng minh $ (\operatorname{Im} U\cap \operatorname{Im} V)=\{0\}$ Tức $U+V=U\oplus V$

đến đây thì em không biết phải làm thế nào. Nhưng thầy em thì viết là:

$\operatorname{rank} U+\operatorname{rank} V=\operatorname{rank}(U+V)$ nên tổng đó là tổng trực tiếp

 

Nhưng hình như nó không đúng vì lúc đầu em cũng nhầm $\operatorname{dim}(\operatorname{Im} U+\operatorname{Im}V)=\operatorname{rank}(U+V)$

Vậy phải giải quyết bài này ntn ạ>.