Cho hàm số :$f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa
$ f(f(n))+f(n)=6n+4$
a) Tính $f(2017)$
b) Tìm tất cả các hàm $f$ thỏa mãn.
Giả sử hàm $f$ thõa mãn yêu cầu bài toán. Với $n $ là số tự nhiên bất kì
Ta xét dãy ${x_{n}}$ như sau:
$x_{0}=n$ và $x_{n+1}=f(x_{n})$
Thay $n$ bởi $x_{n}$ ta được:
$x_{n+2}+x_{n+1}-6x_{n}-4=0$
suy ra :$x_{n}=a.(-3)^n+b.2^n-1$
Mà do $x_{n}=2^{n}(b+a(\frac{-3}{2})^n-\frac{1}{2^n})$
Xét $a<0$ thì khi chọn $n$ chẵn và đủ lớn ta có $x_{n}$ tiến về âm vô cùng.vô lí
Tương tự xét $a>0$ và chọn $n$ lẻ và đủ lớn cũng có được $x_{n}$ tiến về âm vô cùng ,vô lí
Vậy $a=0$ .Khi đó $x_{n}=b.2^{n}-1$ .Thay $n=0,1$ ta có được $f(n)=2n+1$. Thử lại đúng
vậy $f(n)=2n+1$ và $f(2017)=4035$
- NTL2k1, plskillme và Nghiapnh1002 thích