cho a,b,c >0 và $\sum a^{2}=3$
CM $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3} <=\frac{1}{2}$
Ta có: $a^{2}+1\geq 2a; b^{2}+1\geq 2b; c^{2}+1\geq 2c$
suy ra $\sum \frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{a}{a+b+1} \right )$
CM $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1$
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawars ta có:
$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{\left ( b+1 \right )^{2}}{\left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}\geq \frac{\left ( a+b+c+3 \right )^{2}}{\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )}$
Mà $\sum a^{2}=3$ nên ta có: $\sum \left ( b+1 \right )\left ( a+b+1 \right )= 3\left ( a+b+c \right )+\sum ab+\sum a^{2}+3= \frac{1}{2}\left ( a+b+c+3 \right )^{2}$
suy ra: $\sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$ suy ra đpcm
- hoangmanhquan và nguyenhongsonk612 thích