Chung Anh

Chứng minh hoặc phủ nhận mệnh đề sau:

"$f(x)\in \mathbb{Z}[x],f(x)=m$ có quá $2m$ nghiệm nguyên thì $f(x)=-m$ không có nghiệm nguyên"

Đề thi học sinh giỏi huyện Tiên Lữ

Câu 1 a. Cho $x=\frac{4\sqrt{4-\sqrt{5+\sqrt{21+\sqrt{80}}}}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}} $ Tính $P=(x^3-4x+1)^2015$

           b.Cho $a,b$ là hai số dương thỏa mãn $a^2-b>0$.Chứng minh $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}} $

Câu 2 a.Giải phương trình $\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3} $

           b.Tìm nghiệm nguyên dương $4y^2=2+\sqrt{199-x^2-2x} $

Câu 3 a.Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;1),B(9;1)$ .Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng $AB$ và chia tam giác $OAB$ thành hai phần có diện tích bằng nhau.

           b.Tìm số tự nhiên $n$ để $n(n+3)$ là số chính phương.

Câu 4 Cho đường tròn tâm $(O)$ đường kính $AB$ .$M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $OA$,vẽ đường tròn tâm $O'$ đường kính $MB$.Gọi $I$ là trung điểm $MA$ ,vẽ dây cung $CD$ vuông góc với $AB$ tại $I$.Đường thẳng $BC$ cắt đường tròn $(O')$ tại $J$

a.Chứng minh đường thẳng $IJ$ là tiếp tuyến của $(O')$

b.Xác định vị trí của $M$ trên đoạn $OA$ để diện tích $IJO'$ lớn nhất

Câu 5

a.Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AD$ là đường phân giác góc $A$ ($D$ thuộc $BC$),biết $AB=c;AC=b:AD=d$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{2}}{d}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c} $

b.Cho a,,c là 3 số dương thỏa mãn $a+b+c+ab+bc+ac=6abc$.Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 3 $

Cho M là một số nguyên dương $S=\left \{ n \epsilon \mathbb{N}*/M^2\leq n<(M+1)^2 \right \} $. Chứng minh rằng mọi tích $ab$ (a,b thuộc S) phân biệt

Cho a,b,c dương thỏa mãn $abc=1$ .Chứng minh rằng $\sum a+\sum \frac{1}{a}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 $

Đề thi chọn đội tuyển lần 2 trường THPT chuyên Hưng Yên

Câu1 Giải phương trình trên tập số thực $3x^2-10x+6+(x+2)\sqrt{2-x^2}=0 $

Câu2 Tìm số tự nhiên x,y thỏa mãn $2^y=1+x+x^2+x^3$

Câu3 Cho n số nguyên dương đôi một phân biệt thỏa mãn $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}=1 $ trong đó số lớn nhất trong cách số $a_{1};a_{2}...;a_{n}$ có dạng $2p$ với $p$ là số nguyên tố.Xác định số lớn nhất đó

Câu4 Cho tam giác $ABC$ không tù.Gọi $D$ là chân đường cao vẽ từ $A$. Gọi $I;J$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD;ACD$ ($D$ là chân đường cao hạ từ $A$) .Đường thẳng $IJ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh rằng $AP=AQ$ khi và chỉ khi $AB=AC$ hoặc góc $BAC$ bằng 90 độ.

Câu5 Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ac}\leq \frac{9}{2} $

Câu6 Trong một hội nghị có 100 người.Trong đó có 15 người Pháp,mỗi người quen với ít nhất 70 đại biểu và 85 người Đức,mỗi người quen với không quá 10 đại biểu.Họ được phân vào 21 phòng.Chứng minh rằng có một phòng nào đó không chứa một cặp nào quen nhau.