mam1101

Thêm một bài nữa 

Bài 35:Goi p là nửa chu vi chu vi của tam giác, a,b,c là độ dài 3 cạnh tương ứng. 

C/m $\sqrt{p} \leq \sqrt{p -a} + \sqrt{p - b}+ \sqrt{p - c } \leq \sqrt{3p}$

Bài 30:

​Cho $a_{1};a_{2};a_{3};a_{4};a_{5}\in Z$

C/m rằng $P=(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})(a_{1}-a_{4})(a_{1}-a_{5})(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{4})(a_{2}-a_{5})(a_{3}-a_{4})(a_{3}-a_{5})(a_{4}-a_{5})\vdots 144$

Với 5 số bất kì thì ta sẽ có :

          + 1 cặp số chia hết cho 4

          + 2 cặp số chia hết cho 2

          + 2 cặp số chia hết cho 3 ( Bạn tự chứng minh mệnh đề này)

Vậy tích trên chia hết cho 144 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

         a³ + 1 + 1 $\geq$ 3a

         b³ + 1 + 1 $\geq$ 3b

$\Rightarrow$ 3a + 3b $\leq$ a³ + 1 + 1 + b³ + 1 + 1 = 6

$\Rightarrow$ a + b $\leq$ 2

Dấu bằng xảy ra a = b = 1 

Nếu có bài hình nào hay thì post lên luôn

Bài 5 : Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. Điểm O nằm trong tứ giác.

C/mr OA² + OB² + OC² + OD²  $\geq$ 2S

Bài 6 : Cho tứ giác ABCD có diện tích là S. Có tổng bình phương các cạnh và đường chéo là p.

c/mr a) S $\leq$ $\frac{1}{2}$ AC . BD

        b) S $\leq$ $\frac{p}{8}$ 

Bài 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có

                    3a⁴ + 1$\geq$ 4a³

                    3b⁴ + 1$\geq$ 4b³

Mà a³ + b³  $\geq$ a + b =2

Vậy a⁴ + b⁴  $\geq$ a³ + b³

Bài 1: Với nghiệm x,y,z là (1,2,2) ta thấy đề sai

Cho $a,b,c > 0$ và $ab + bc + ac = 3$

C/m $\dfrac{1}{a^2+b^2+1} + \dfrac{1}{b^2+c^2 + 1} + \dfrac{1}{c^2 + a^2 + 1} \leq 1$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có 

 ( 1 + 1 + c²)(a² + b² + 1) $\geq$ ( a + b + c )² 

$\Rightarrow$ $\frac{1}{a^{2} + b^{2} + 1} \leq \frac{1 + 1 + c^{2}}{( a + b + c )^{2}}$

Tương tự . Vậy VT $\leq \frac{a^{2}+ b^{2} + c^{2} + 6 }{(a +b +c)^{2}}$ = 1 (dpcm) (do ab +bc+ca = 3)

2. ​​+Ta có $2a+b\vdots 7\Leftrightarrow (2a+b)^{2}\vdots 49\Leftrightarrow 4a^{2}+4ab+b^{2}\vdots 49\Leftrightarrow 3a^{2}+10ab-8b^{2}-(a-3b)^{2}\vdots 49$ $(1)$

Vì $2a+b\vdots 7\Rightarrow 8a+4b\vdots 7\Leftrightarrow a-3b+7a+7b\vdots 7\Leftrightarrow a-3b\vdots 7\Leftrightarrow (a-3b)^{2} \vdots 49 (2)$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra $3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$ (đpcm)

+$3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49\Leftrightarrow (3a-2b)(a+4b)\vdots 49\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a-2b\vdots 7 & \\ a+4b\vdots 7 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3a-2b+a+4b\vdots 7\Leftrightarrow 4a+2b\vdots 7\Leftrightarrow 2a+b\vdots 7$ (đpcm)

+ TH1: $x=y$

=> $(x+3) \vdots x <=> 3 \vdots x$

=> $x=y=3$

+ TH2: $x \neq y$. Gỉa sử $x>y$

Đặt $y+3=px$ $(p>1)$

$=> px=y+3<x+3<x$

$=> p<1$ (vô lý -> loại)

Vậy $x=y=3$

Tuy chưa đọc kĩ bài hai bạn nhưng hai bạn thiếu nghiệm cả rồi.

Bài làm của mình

x=2 , y=2  thì phương trình sai (loại)

GS y$\geq$ x $\geq$ 2.

Ta có x + 3 $\vdots$ y  $\Rightarrow$ x+ 3 = k.y .

Ta có : k.y = x + 3 $\leq$ y + 3  $\leq$ y + y = 2y.

$\Rightarrow$ k $\leq$ 2 mà k thuộc N nên k=1, k=2 .

Với k=1 thì ta có 

x +3 = y, $\Rightarrow$ x= y - 3.

Thay vào đề ta có y + 3  $\vdots$ y-3 $\Rightarrow$ 6 $\vdots$ y-3

Ta có 3 nghiệm ( y = 5,  x=2), ( y = 6,  x = 3), (y = 9, x = 6) và các hoán vị.

Với k=2 làm tương tự.

Thấy hay thì like giùm đi

Góp vài bài     

Bài 1 : Tìm các số nguyên dương $x,y$ lớn hơn $1$ sao cho $x+3 \vdots y, y+3 \vdots x$

Bài 2: Cho $a,b \in N$. Chứng minh rằng $(2a+ b) \vdots 7 \Leftrightarrow 3a^{2} + 10ab - 8b^{2} \vdots 49$

$\Delta$ BEM đồng dạng $\Delta$ MCF

$\Rightarrow$ BM/CM = a/b $\Rightarrow$ BM/MC = a/a+b

Do ME // AC $\Rightarrow$ $\Delta$ BEM đồng dạng với BAC

$\Rightarrow$ SBEM / SBAC = a²/ (a+b)² $\Rightarrow$ SBAC = (a+b)²

b) Để S AEMF nn $\Rightarrow$ a² + b² ln

 a² + b² $\leq$ 1/2 (a+b)²   dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hay M là TĐ của BC

Vậy M là TĐ của BC.

Không mấy chắc chắn về câu b) mọi người xem giùm cái

Cho thêm cách nữa.

Từ D đường thẳng song song với FE cắt AC tại M rồi c/m AE = EM = MC.

Dễ hiểu hơn    

bai ban dung roi do. Con cai de la minh ghi sai    

Mình ko biết cách gửi hình thông cảm :-D

BL:

Ta có : S(ADT)= 1/3 S(ADC);

            S(CYB)= 1/3 S(CAB);

Cộng hai vế ta có S(ADT)+ S(CYB) = 1/3 S(ABCD)

Suy ra S(ATCY) = 2/3 S(ABCD);

Ta có : S(ZXY)= 1/2 S(ZAY);

            S(XTZ)= 1/2 S(XTC); 

Cộng hai vế ta có S(XYZT) = 1/2 S(ATCY)= 1/2 . 2/3 S(ABCD) = 1/3 S(ABCD)

Với cách làm kiểu này có thể làm bài toán tổng quát

Chia hai cạnh đối của một tứ giác thành n phần bằng nhau (n lẻ) thì tứ giác ở giữa bằng 1/n tứ giác lớn bên ngoài

Bài 11: Một số nt khi bình phương chia 3 và 4 đều dư 1

(n - 1) chia hết cho 3 và 4 ma (3,4)= 1 nên (n -1) chia hết cho 12 hay n chia 12 dư 1

Bài 12 : lần lượt xét các giá trị của p là 3k+1 , 3k+2, 3k suy ra p= 3

Bài 13: Ta có 2^n  - 1 là số nt hay (3-1)^n -1 là số nt 

                + nếu n chẵn thì 2^n - 1 chia hết cho 3 (loại)

Vậy n lẻ. Nên 2^n  + 1 chia hết cho 2+1 là 3

Nên 2^n + 1 là hợp số.