daotuanminh

Xét phương trình $ax^{3}-x^{2}+bx-a=0$ với $a,b$ là các số thực $a\neq 0,a\neq b$ sao cho các nghiệm của phương trình đều là số thực dương. Tìm GTNN của $P=\frac{5a^{2}-3ab+2}{a^{2}(b-a)}$

Cho 2 số thực $x,y$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$. Tìm Max, Min 

$\frac{2(x^{2}+6xy)}{1+2xy+2y^{2}}$

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm Max: 

$A=\frac{a}{1+a^{2}}+\frac{b}{1+b^{2}}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^{2}}}$

Cho biểu thức $P=(\frac{x+1}{\sqrt[3]{x^{2}}-\sqrt[3]{x+1}}-\frac{x-1}{x-\sqrt{x}})^{10}$ với $x> 0, x\neq 1$. Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton của $P$

1. So sánh $A=\frac{107}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...\frac{1}{2014}}$ và $B=\frac{108}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2013}}$

2. Cho $\left | a-b \right |, \left | b-c \right |, \left | c-a \right | \leq 2$ và $\sum \sqrt{ab+1} =a+b+c$ Tìm $a,b,c$

Cho $n$ là số tự nhiên lẻ sao cho $\frac{n^{2}-1}{3}$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

CMR: $n$ là tổng của 2 số chính phương liên tiếp.

a. Giải phương trình $\sqrt{7x^{2}+25x+19}-\sqrt{x^{2}-2x-35}=7\sqrt{x+2}$

b. $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}-3x-y=0 & \\ x^{2}-1=(y-x+3)\sqrt{x^{2}-4x+5}& \end{matrix}\right.$

Cho đoạn thẳng $AC$ có độ dài bằng $a$. Trên đoạn $AC$ lấy $B$ sao cho $AC=4AB$. Tia $Cx$ vuông góc với $AC$ tại $C$, gọi $D$ là 1 điểm bất kì thuộc tia $Cx$( $D$ không trùng với $C$ ). Từ diểm $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AD$ cắt $AD$ và $CD$ lần lượt tại $K$ và $E$. CMR: khi điểm $D$ di động trên tia $Cx$ thì đường tròn đường kính $DE$ luôn có 1 dây cung cố định.

Họ tên: Đào Tuấn Minh

Nick trong diễn đàn: daotuanminh

Năm sinh: 2001

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp: THCS

Không mất tính tổng quát giả sử $m\leq n$,ta có

$n^{2}< n^{2}+8m\leq n^{2}+8n< n^{2}+8n+16=(n+4)^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix} n^{2}+8m=n^{2}+2n+1 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+4n+4 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+6n+9 & & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 8m=2n+1(VL) & & \\ 2m=n+1 & & \\ 8m=6n+9(VL) & & \end{bmatrix}\Leftrightarrow 2m=n+1$

Vì $2m$ chẵn nên $n$ lẻ.Đặt $n=2x+1\Rightarrow m=x+1(x\epsilon N)$

Nếu $x=0$ thì $m=n=1 (TM)$

Nếu $x>0$ vì $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}< x^{2}+18x+9< x^{2}+18x+81=(x+9)^{2}\Rightarrow x=2\Rightarrow m=3;n=5(TM)$

Vậy,$(m,n)=(3;5);(1;1)$

Thiếu 1 nghiệm $(11;21)$

mình chưa hiểu làm sao suy ra được điều này

Ta có: $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})}=\sum \frac{2(\sum a^{2})}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})}-3 \geq 2(\sum a^{2})\frac{9}{\sum [a^{2}+2(b^{2}+c^{2})]}-3=\frac{3}{5}$

BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})} \Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq 2(\sum a^{2})(\frac{9}{5\sum a^{2}})-3=\frac{3}{5}$

Ờ đúng rồi, đúng là có khả năng đấy thật.

Thôi xét lại vậy:

TH3 : $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c} \in \mathbb{I}$

$\Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \in \mathbb{I}$ (cái này cũng chắc chắn rồi, khỏi bàn cãi nữa)

Chưa chắc đâu 

3 số vô tỉ cộng nhau có thể được số hữu tỉ

$(1+\sqrt{8})+(1-\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=3$

Ta có:$x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \frac{(x+y)^4}{4}$ (Đúng theo bđt Cauchy-Schwarz)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$

Sai rồi bạn ạ 

$(x^{2}+y^{2})^{2} \geq [\frac{(x+y)^{2}}{2}]^{2}=\frac{(x+y)^{4}}{4} \Rightarrow \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{2} \geq \frac{(x+y)^{4}}{8}$ 

P/S: Đề sai 

Bài này khó đấy, nhưng mình giải được rồi

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có :

Ta có : $\frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} \geq 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8abc}} = 3.\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = 3. \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (1)

Lại có : $3 + \frac{a + b + c}{2} \geq 3 + \frac{3.\sqrt[3]{abc}}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 1$ (2)

Từ (1) và (2)

$\Rightarrow \frac{3}{2a} + \frac{3}{2b} + \frac{3}{2c} = 3 + \frac{a + b + c}{2} = \frac{9}{2} $

Chưa chắc đâu bạn