I love Tomato

Cho tứ giác ABCD. AB cắt CD tại X, AD cắt BC tại Y. Qua mỗi điểm X,Y kẻ 2 đường thẳng cắt ABCD thành một ma trận gồm 9 tứ giác nhỏ. Biết 3 trong 4 tứ giác nhỏ ở 4 góc là tứ giác ngoại tiếp. CMR: tứ giác còn lại cũng ngoại tiếp (Sử dụng Định lý Monge D - alembert)

Cho tứ giác ABCD. AB cắt CD tại X, AD cắt BC tại Y. Qua mỗi điểm X,Y kẻ 2 đường thẳng cắt ABCD thành một ma trận gồm 9 tứ giác nhỏ. Biết 3 trong 4 tứ giác nhỏ ở 4 góc là tứ giác ngoại tiếp. CMR: tứ giác còn lại cũng ngoại tiếp (Sử dụng Định lý Monge D - alembert)

Cho tam giác  $ABC$ và điểm $P. A'B'C'$ là tam giác Pedal của $P$ đối với tam giác $ABC. O, O'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC, A'B'C'. PA', PB', PC'$ lần lượt cắt $(O')$ tại $A_1, B_1, C_1$. Giả sử $P, O, O'$ thẳng hàng. Chứng minh rằng $(PAA_1), (PBB_1), (PCC_1)$ đồng quy tại điểm khác $P.$

Cho ba đường tròn $(O_1), (O_2), (O_3)$ cùng đi qua $I$. Đường tròn $(I)$ bán kính thay đổi cắt $(O_1)$ tại $M, N. (I)$ cắt $(O_2)$ tại $P$ sao cho $M, P$ khác phía nhau đối với $I,O2; (I)$ cắt $(O_3)$ tại $Q$ sao cho $M,Q$ khác phía nhau đối với $I,O_3$. Chứng minh rằng giao điểm khác $I$ của các đường tròn ngoại tiếp $(IMP)$ và $(INQ)$ luôn nằm trên đường tròn cố định.

Cho ba đường tròn (O1), (O2), (O3) cùng đi qua I. Đường tròn (I) bán kính thay đổi cắt (O1) tại M, N. (I) cắt (O2) tại P sao cho M, P khác phía nhau đối với IO2, (I) cắt (O3) tại Q sao cho M, Q khác phía nhau đối với IO3. Chứng minh rằng giao điểm khác I của các đường tròn ngoại tiếp (IMP) và (INQ) luôn nằm trên đường tròn cố định