Pham Quoc Thang

Tìm tất cả các hàm $f:Q \rightarrow Q$ thỏa mãn: 
$f(f(x)+x+y)=f(x)+f(y)+x$, với mọi $x,y \in Q$

Cho $ a,b,c $ là các số dương. Chứng minh rằng:

$ \frac{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)} +\sum\frac{(a-b)(a-c)}{b^2+c^2} \geq 1$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                 KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH THPT
 

             AN GIANG                                                                VÒNG 1

                                                                      MÔN:TOÁN      THỜI GIAN:180 PHÚT
 

Bài 1(2,0 điểm):

Chứng minh rằng phương trình $ x^2-(sin^{2n}t).x-cos^{2n}t=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-1;1]$ . Trong đó n là số nguyên dương và t là số thực bất kì.

Bài 2(3,0 điểm):

Giải phương trình $sin^{2}x+\frac{1}{4}sin^{2}3x=sinx.sin^{2}3x $
Bài 3(3,0 điểm):

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}y^2-|xy|+2=0 \\8-x^2=(x+2y)^2 \end{array}\right.$
Bài 4(2,0 điểm):

Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[2015]{1+x}.\sqrt[2016]{1+2x}-1}{x}$
Bài 5(3,0 điểm):
Cho dãy số $(u_{n})$ với
$u_{1}=a;u_{n+1}=\frac{u_{n}+1}{\sqrt{u^2_{n}+1}} -1 $ (với $-1<a<0$)
a)Chứng minh rằng $(u_{n})$ là dãy giảm và bị chặn
b)Chứng minh rằng $\lim_{n \to \infty}u_{n}=-1$
Bài 6(2,0 điểm):

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác $ABC$ có $A(0;5)$ , các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ B của tam giác $ABC$ lần lượt có phương trình $d_{1}:x-y+1=0; d_{2}:x-2y=0 $. Tìm tọa độ hai đỉnh B và C.
Bài 7(3,0 điểm):

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác $ABC$ vuông cân tại A.Hình chiếu của A' lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm M của đoạn BC, góc hợp bởi AA' và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $45^{\circ}$
a. Chứng minh rằng BCC'B' là hình chữ nhật
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và AC
Bài 8(2,0 điểm):

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2a-3b+1$ biết rằng hai số a, b thỏa mãn $8a^2+18b^2=1$

CMR có vô số số nguyên dương $n$ để $[n\sqrt{2}]$ là số chính phương