Đến nội dung

longatk08

longatk08

Đăng ký: 30-11-2014
Offline Đăng nhập: 29-10-2018 - 16:35
-----

#678258 $\frac{y"}{y'^3}+\frac{2...

Gửi bởi longatk08 trong 21-04-2017 - 22:33

Giải phương trình vi phân:

 

$$\frac{y"}{y'^3}+\frac{2}{y'}-x-y=e^{-y}$$




#673876 $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1...

Gửi bởi longatk08 trong 10-03-2017 - 17:16

Cho khai triển Fourier $x^2=\frac{\pi ^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^n\frac{cos(nx)}{n^2}, x \in [-\pi, \pi)$. Tính tổng $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}$




#642531 TOPIC các bài tập hóa học luyện thi THPT Quốc gia

Gửi bởi longatk08 trong 28-06-2016 - 00:16

Nếu không có Vinacal thì làm sao giải đc hệ 4 ẩn em ơi? :( . Đây là đáp án của tác giả bài toán: 

k2pi.net.vn-9131ed.png




#642026 TOPIC các bài tập hóa học luyện thi THPT Quốc gia

Gửi bởi longatk08 trong 24-06-2016 - 18:03

Bài 5: k2pi.net.vn-5571kk.png




#641304 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi longatk08 trong 19-06-2016 - 20:49

Bài 169: ( Chuyên Lê Hồng Phong) Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z \leq \frac{19}{5}$. Tìm GTLN của:

 

$$P=(1+x^2y^2)\sqrt{1+z^4}-\frac{(x+y+z)^4}{12}$$




#638434 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi longatk08 trong 06-06-2016 - 00:55

Biến đổi p,q,r ta có: $2q=p^2-3$
Bđt Schur: $9r\geq p(4q-p^2)=p(p^2-6)$
Do đó $P\leq \frac{7}{2}(p^2-3)-p(p^2-6)\leq 12\Leftrightarrow (-\frac{5}{2}-p)(p-3)^2\leq 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
MaxP=12.

Bài này nhẹ nhàng thôi, không cần thiết phải lôi BĐT Schur vào làm gì, với kiến thức thi đại trà thì không phù hợp.

 

Ở đây ta làm như sau:

 

Giả sử $a=max${$a,b,c$} thì ta có: $1\leq a\leq\sqrt{3}$.

 

Viết lại BĐT cần chứng minh dưới dạng $f(a)=a(9bc-7b-7c)+11-bc \geq 0$

 

Dễ thấy $f(a)$ là hàm đơn điệu nên ta chỉ cần chứng minh:

 

$f(1) \geq 0$ và $f(\sqrt{3}) \geq 0.$




#631855 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi longatk08 trong 08-05-2016 - 05:41

Bài 80: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac \leq 3$. Tìm GTNN của:

 

$$\frac{12}{4ab+(a+b)(c+3)}+\frac{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{2c^2}$$




#631683 $\sum \frac{a(b+c)}{b^{2}+bc+c^{...

Gửi bởi longatk08 trong 06-05-2016 - 23:33

BĐT tương tự sau cũng đúng:

 

$$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2+4\cdot\left ( \frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{b-c}{b+c}\cdot\frac{c-a}{c+a} \right )^2$$

 

Hoặc:

 

$$\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge \frac{a^2b+b^2c+c^2a}{ab^2+bc^2+ca^2}+\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{a^2b+b^2c+c^2a}$$




#631682 $\sum \frac{a(b+c)}{b^{2}+bc+c^{...

Gửi bởi longatk08 trong 06-05-2016 - 23:30

Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca>0$

$\frac{a(b+c)}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b(c+a)}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 2+\frac{3\left [ (a-b)(b-c)(c-a) \right ]^{2}}{(a^{2}+ab+b^{2})(b^{2}+bc+c^{2})(c^{2}+ca+a^{2})}$

 

Spoiler

Áp dụng BĐT C-S thì ta có:

 

$$VT \geq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ab^2+bc^2+ca^2)^2}{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+abc\left[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \right]}$$

 

Mặt khác theo BĐT Schur thì $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \leq a^3+b^3+c^3+3abc$. Vậy nên ta có:

 

$$\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)^2+(ab^2+bc^2+ca^2)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}=2+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)}$$

 

Ta có kết quả sau: Với mọi số thực $a,b,c$ thì BĐT sau đúng:

 

$$\prod(a^2+ab+b^2) \geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)$$




#630704 Tổng hợp các bài BĐT trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2017

Gửi bởi longatk08 trong 02-05-2016 - 08:02

 

 

 

 

Đặt $p=x+y+z=3$, $q=xy+yz+zx$ và $r=xyz$. Áp dụng BĐT Schur :

$$r\geq \dfrac{4pq-p^3}{9}=\dfrac{4q-9}{3}$$

Cũng có :

$$x^3+y^3+z^3=3xyz+(x+y+z)\left [ (x+y+z)^2-3(xy+yz+zx) \right ]=3r+3(9-3q)=3r-9q+27$$

 

Bạn có thể tránh dùng BĐT Schur bằng cách sử dụng nguyên lí Dirichle, giả sử $(x^2-1)(y^2-1) \geq 0$




#626984 Tìm max: $\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+...

Gửi bởi longatk08 trong 13-04-2016 - 11:32

Cho các số thực không âm a,b,c, $a+b+c \le 2$

Tìm max:

$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab}+\dfrac{12}{\sqrt{a+b+c+2}}+1$

Bạn có thể dùng bổ đề sau:

 

$$\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ac}+\sqrt{c^2+ab}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$$. Trên điễn đàn bài này đã được post nhiều :)




#617149 [Trường Xuân toán học miền nam 2016] Vietnam TST 2016 MOCK Test 2

Gửi bởi longatk08 trong 26-02-2016 - 22:51

Một dạng "chế phẩm" từ bài toán của Long đây, tư tưởng S.O.S rõ ràng dù vẫn hơi động tay, động chân tí:

 

https://artofproblem...4035_inequality




#613915 Tiếp sức bất đẳng thức

Gửi bởi longatk08 trong 10-02-2016 - 11:46

Thứ nhất: Chúng ta có quyền sắp thứ tự hoàn toàn khi vai trò $a,b,c$ trong biểu thức tương đương nhau nhưng với bài này vai trò của các biến không bình đẳng. Thứ 2: Người khác có quyền thắc mắc nếu họ không hiểu về 1 bước trong bài làm của bạn nên tôi nghĩ bạn nên giải thích cho họ hiểu, không hiểu thì phải hỏi, thế thôi. Những bước như thế thì không nên làm tắt. Mà theo biểu thức của bạn gõ ra thì $S_{a},S_{b},S_{c}$ nó đổi chỗ cho nhau hết cả, cái đầu tiên là $S_{c}$, thứ hai phải là $S_{a}$ và thứ 3 là $S_{b}$. Việc xác định đúng các biểu thức hết sức quan trọng trong quá trình bạn biện luận nhé.




#613912 Bất đẳng thức - Cực trị

Gửi bởi longatk08 trong 10-02-2016 - 11:38

Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$$




#613909 $\sum \frac{1}{a^{2}+ab+b^{2...

Gửi bởi longatk08 trong 10-02-2016 - 11:32

Bài tương tự: Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

 

$$\frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{7(a+b+c)}{3(a+b)(b+c)(c+a)}$$