Duong Nhi

Đây là định lí con bướm nhé ))) 

Có thể tham khảo ở đây http://www.mathvn.co...chung-minh.html

https://fbcdn-sphoto...d761a609d02dc20

Ta có: $\angle DNC = \angle DNO +\angle ONC=\angle DAO+\angle OBC=\frac{180 - 2\angle ACD}{2}+\frac{180-2\angle BCD }{2}= 180 -(\angle ACD+\angle BCD)=180-\angle AID=\angle DIC$

=> tứ giác INCD nội tiếp=> $\angle IND = \angle ICD$.

Chứng minh tương tự có: tứ giác IBCM nội tiếp => $\angle IMB = \angle ICB$.

Ta có: $\angle DNO=\angle DAO$ ( tứ giác DANO nội tiếp); $\angle BMO=\angle OAB$ ( tứ giác ABOM nội tiếp)

Xét tứ giác INMO có: $\angle IND + \angle IMB+\angle DNO+\angle BMO = \angle ICD+\angle ICB+\angle DAO+\angle OAB=180$.

=> I,N,M,O đồng viên.

 

                                              

 

Cần chứng minh $BD,AE,OG$ đồng quy để sử dụng phương tích.

Lời giải : 

Trước hết ta phát biểu bổ đề : 

Bổ đề : Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, cát tuyến $CDE$. Gọi $AE \cap BD \equiv H$, $AD\cap BE \equiv I$. Khi đó $H$ là trực tâm tam giác $COI$. 

Trở lại bài toán. 

Gọi $AD\cap CG \equiv I$. Dễ thấy $BF$ là tiếp tuyến của $(O)$. 

Ta có : $ \angle CGD=\angle DBF=\angle DAB$

$\Rightarrow CADG$ nội tiếp.

Xét tứ giác $GDEI$ có $\angle DGI=180^0-\angle DBF=180^0-\angle DAB =\angle DEB$

$\Rightarrow GDEI$ nội tiếp $\Rightarrow \angle GDI=\angle GEI$

Xét tứ giác $CGEB$ có $\angle BDG=\angle GDI=\angle GEI$

Suy ra $CGEB$ nội tiếp $\Rightarrow IG.IC=IE.IB$

Suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(CADG)$ và $(BADE)$

Suy ra $A,D,I$ thẳng hàng 

 

Gọi $AE\cap BD \equiv H$ 

Theo Bổ đề ta có $H$ là trực tâm tam giác $COI$ , mà $OG$ vuông góc với $CI$ nên $O,G,H$ thẳng hàng 

Ta có $OH.OG=OB.OD=OA.OE$

Suy ra $AGEO$ nội tiếp $(Q.E.D)$ 

 

Cách khác ạ )

https://fbcdn-sphoto...17351997_n.jpg?oh=99e1d8f43ed55f95bea7d628333af1ab&oe=56072618&__gda__=1443304138_017f6699f0aac589d744db37f09b920c

Dễ thấy Q là trực tâm tam giác JBC => JV vuông góc với BC => tứ giác DVQI nội tiếp ( bạn đọc tự chứng minh)

Dễ thấy tứ giác BFQV và BFID nội tiếp => QV, BF, DI đồng quy.(*)

Chứng minh tương tự có CE, BF, QV đồng quy(**). từ (*) và (**) => CE, BF, QV, DI đồng quy tại J.

ð  Tứ giác DCEI nội tiếp => góc DCE= góc EIJ (1).

Ta có: tứ giác DIFB nội tiếp => góc DIB = góc DFB. Tứ giác BFEC nội tiếp => góc DFB = góc BCE

ð  Góc DIB = góc BCE (2). Từ (1) và (2) => góc DIB = góc EIJ= góc BCE

Xét tứ giác BIAE có: góc BIE = 180^o – 2. Góc BID = 180^o – 2.góc BCE = góc CAE => góc BIE + góc BAE = 180^o  => ĐPCM.