Duong Nhi

Đây là định lí con bướm nhé ))) 

Có thể tham khảo ở đây http://www.mathvn.co...chung-minh.html

Ta có: $\angle DNC = \angle DNO +\angle ONC=\angle DAO+\angle OBC=\frac{180 - 2\angle ACD}{2}+\frac{180-2\angle BCD }{2}= 180 -(\angle ACD+\angle BCD)=180-\angle AID=\angle DIC$

=> tứ giác INCD nội tiếp=> $\angle IND = \angle ICD$.

Chứng minh tương tự có: tứ giác IBCM nội tiếp => $\angle IMB = \angle ICB$.

Ta có: $\angle DNO=\angle DAO$ ( tứ giác DANO nội tiếp); $\angle BMO=\angle OAB$ ( tứ giác ABOM nội tiếp)

Xét tứ giác INMO có: $\angle IND + \angle IMB+\angle DNO+\angle BMO = \angle ICD+\angle ICB+\angle DAO+\angle OAB=180$.

=> I,N,M,O đồng viên.

 

                                              

 

Cần chứng minh $BD,AE,OG$ đồng quy để sử dụng phương tích.

Lời giải : 

Trước hết ta phát biểu bổ đề : 

Bổ đề : Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, cát tuyến $CDE$. Gọi $AE \cap BD \equiv H$, $AD\cap BE \equiv I$. Khi đó $H$ là trực tâm tam giác $COI$. 

Trở lại bài toán. 

Gọi $AD\cap CG \equiv I$. Dễ thấy $BF$ là tiếp tuyến của $(O)$. 

Ta có : $ \angle CGD=\angle DBF=\angle DAB$

$\Rightarrow CADG$ nội tiếp.

Xét tứ giác $GDEI$ có $\angle DGI=180^0-\angle DBF=180^0-\angle DAB =\angle DEB$

$\Rightarrow GDEI$ nội tiếp $\Rightarrow \angle GDI=\angle GEI$

Xét tứ giác $CGEB$ có $\angle BDG=\angle GDI=\angle GEI$

Suy ra $CGEB$ nội tiếp $\Rightarrow IG.IC=IE.IB$

Suy ra $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(CADG)$ và $(BADE)$

Suy ra $A,D,I$ thẳng hàng 

 

Gọi $AE\cap BD \equiv H$ 

Theo Bổ đề ta có $H$ là trực tâm tam giác $COI$ , mà $OG$ vuông góc với $CI$ nên $O,G,H$ thẳng hàng 

Ta có $OH.OG=OB.OD=OA.OE$

Suy ra $AGEO$ nội tiếp $(Q.E.D)$ 

 

Cách khác ạ )

https://fbcdn-sphoto...17351997_n.jpg?oh=99e1d8f43ed55f95bea7d628333af1ab&oe=56072618&__gda__=1443304138_017f6699f0aac589d744db37f09b920c

Dễ thấy Q là trực tâm tam giác JBC => JV vuông góc với BC => tứ giác DVQI nội tiếp ( bạn đọc tự chứng minh)

Dễ thấy tứ giác BFQV và BFID nội tiếp => QV, BF, DI đồng quy.(*)

Chứng minh tương tự có CE, BF, QV đồng quy(**). từ (*) và (**) => CE, BF, QV, DI đồng quy tại J.

ð  Tứ giác DCEI nội tiếp => góc DCE= góc EIJ (1).

Ta có: tứ giác DIFB nội tiếp => góc DIB = góc DFB. Tứ giác BFEC nội tiếp => góc DFB = góc BCE

ð  Góc DIB = góc BCE (2). Từ (1) và (2) => góc DIB = góc EIJ= góc BCE

Xét tứ giác BIAE có: góc BIE = 180^o – 2. Góc BID = 180^o – 2.góc BCE = góc CAE => góc BIE + góc BAE = 180^o  => ĐPCM.

Đặt AC = b; AB = c; BC = a.

Dễ thấy BD = p-b; DC = p-c.( với p là nửa chu vi của tam giác ABC).

Ta có: (p-b).$\underset{DC}{\rightarrow}$ + (p-c).$\underset{DB}{\rightarrow}$ = 0 

<=> (p-b). ($\underset{DI}{\rightarrow}$-$\underset{BI}{\rightarrow}$) + ($\underset{DI}{\rightarrow}$-$\underset{CI}{\rightarrow}$ = 0.

=> (p-c). $\underset{IB}{\rightarrow}$ + (p-b).$\underset{IC}{\rightarrow}$ = $\underset{ID}{\rightarrow}$.(p-c+p-b)

<=> a.$\underset{ID}{\rightarrow}$ = (p-c).$\underset{IB}{\rightarrow}$ + (p-b).$\underset{IC}{\rightarrow}$.(1)

Do K, J tương ứng là trung điểm của hai cạnh AD và BC.

Do đó, theo hệ thức trung điểm ta có: $\underset{IA}{\rightarrow}$ + $\underset{ID}{\rightarrow}$ = 2. $\underset{IA}{\rightarrow}$

<=> a.$\underset{IA}{\rightarrow}$ + a.$\underset{ID}{\rightarrow}$ = 2.a.$\underset{IA}{\rightarrow}$.(2)

Thay (1) vào (2) ta có: 2.a.$\underset{IK}{\rightarrow}$ =a.$\underset{IA}{\rightarrow}$ + (p-c).$\underset{IB}{\rightarrow}$ + (p-b).$\underset{IC}{\rightarrow}$.(3)

Mặt khác: J trung điểm BC của tam giác IBC => $\underset{IB}{\rightarrow}$ + $\underset{IC}{\rightarrow}$ = 2.$\underset{IJ}{\rightarrow}$

=> (p-a).$\underset{IC}{\rightarrow}$ + (p-a).$\underset{IB}{\rightarrow}$ = 2.(p-a).$\underset{IJ}{\rightarrow}$ (4)

Từ (3) và (4) => 2.a.$\underset{IK}{\rightarrow}$ + 2.(p-a).$\underset{IJ}{\rightarrow}$ = a.$\underset{IA}{\rightarrow}$ + b.$\underset{IB}{\rightarrow}$ + c.$\underset{IC}{\rightarrow}$

Ta lại có: a.$\underset{IA}{\rightarrow}$ + b.$\underset{IB}{\rightarrow}$ + c.$\underset{IC}{\rightarrow}$ = 0 ( I là tâm tỉ cự của A,B,C theo bộ số a,b,c) 

Do đó:  2.a.$\underset{IK}{\rightarrow}$ + 2.(p-a).$\underset{IJ}{\rightarrow}$ = 0.

Từ đây => I, J, K thẳng hàng ) 

Gọi EF cắt AC tại I

Xét tam giác AEF có: $\angle EAF=90^{\circ}$ và AI v.góc với EF => EA² = EI.EF

Mặt khác ta có: EA = EB => EB²  = EI.EF.

Xét tam giác EIB và tam giác EBF có: $\frac{EB}{EI}=\frac{EF}{EB}$ và $\angle BEF$ chung => tam giác EIB ~ tam giác EBF (c.g.c)

=> $\angle EBI = \angle EFB$.(1)

Ta có: Tứ giác BEIC nội tiếp => $\angle EBI = \angle ECI$ (2)

Từ (1) và (2) => $\angle ECI = \angle EFB$ => tứ giác IFCK nội tiếp ( K = {BF $\cap$ EC} ) Mà  $\angle FIC=90^{\circ}$

=> $\angle FKC=90^{\circ}$ Hay EC v.góc với FB 

Đặt x+y=a; xy=b. Dễ thấy x,y #0

Do đó ta có: PT 1 của hệ <=> $\frac{8b}{a}+a^2-2b=16<=> 8b +a^3-2ab=16a <=> a(a^2-16)-2b(a-4)=0<=>(a-4)(a^2+4a-2b)=0$

Đến đây thay x+y=a; xy=b vào rồi thay x,y vao pt 2 của hệ để tìm x,y

Câu hình ý 2 làm thế nào vậy các bạn

a. Ta có: AB=AM và góc BAM = 90 

=> góc ABM= góc AMB = 45.

Ta có: góc DFE = 45 (=1/2 góc DOE)

Do đó: góc ABM= góc AMB= góc DFE => tứ giác DHFB nội tiếp => góc BDF = góc BHF = góc EHM= góc DHB => góc BDH = góc MEH

Xét tam giác DHB và tam giác EHM có: BD=EM ( vì AB=AM; AD=AE); góc DBH = góc EMH (=45); góc BDH = góc MEH. => tam giác DHB = tam giác EHM => DH=EH => AH vuông góc với DE (1)

Ta có: góc BHF = góc DEF (= góc BDF) => DE // BM (2)

Từ (1) và (2) => AH vuông góc với BM.(*)=> góc AHB = 90

Mặt khác ta có: AO phân giác tam giác vuông cân ABM. Nên kết hợp (*) => AO vuông góc với BM. => A,O,H thẳng hàng. 

Ta có: góc AIH =90 (=2. góc BIF) => tứ giác ADEI nội tiếp => góc AIE = góc ADE = 45 kết hợp với góc BÌ =45 => góc AIB = 90.

Xét tứ giác AIHB có góc AIH= góc AHB = 90 => AIHB nội tiếp.

Hình tự vẽ ạ
Gọi I trung điểm CD => KI=ME và KI//ME do đó KIEM hình bình hành.
=> IE=KM. Mặt khác: IE=MD (IDEM thang cân do CFED thang cân) và MD=AM (tính đối xứng) nên KM=AM(1).
Ta có: tam giác OKE= tam giác IDE (vì KO=ID; DE=OE; góc KOE= góc IDE) => KE=IE mà KE=KA ( tính đối xứng) => AK=IE=KM(2)
Từ (1) và (2)=> AM=AK=KM hay tam giác AKM đều.

Kẻ IH vuông góc với AB. C/m IC.ID=IH^2. Đến đây là ok rồi

Lấy K trung điểm AO.

Ta có:  $MK.MO=2R^{2}.(R+\frac{R}{2})=3R^{2}$

và  $MA.MB=MC.MD=> MC.MD=3R^{2}$

=> $MK.MO=MC.MD$ => tứ giác KODC nội tiếp

=>$\angle ODC=\angle AKC$

Mà $\angle ODC=\angle ODA+\angle ADC=\angle OAD+\angle OBI=\angle AIC$

=>$\angle AIC=\angle AKC$ => tứ giác AKIC nội tiếp 

Lại có $\angle ACI=90$ => $\angle AKI=90$

=> IK vuông góc với AO. Kết hợp với IK trung tuyến => tam giác IAO cân tại I

Hình sai rồi, từ F kẻ đường // AC cắt AK,AD ở M,N mà 

đúng đó M,N là M',N' còn kẻ thêm một đường qua F cắt AK,AD tại M,N nựa. đến đó ra bài

Ta có: A = 2⁸ + 2¹¹ + 2ⁿ = 2⁸.(1 + 2³ + 2^n-8) = (2³)².(1 + 2.2².1 + 2⁴ +2^n-8 - 2⁴) =  (2³)².((1 + 2²)² + 2^n-8 - 2⁴)

=> A là số chính phương <=> 2^n-8=2⁴=> n-8=4=> n=12

Chưa chắc $k^{2}$ và $m^{2}$ chia hết cho 2 đâu, lỡ cùng chia 2 dư 1 thì sao

vâng em biết lâu rồi ạ...