Thu Huyen 21

Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:

$\sum xy(x+y)\sqrt{(x+z)(y+z)}\geq 4xyz(x+y+z)$

Từ H kẻ đường thẳng vuông góc với HI, cắt AB, AC lần lượt tại X, Y
Chứng minh được HX=HY (http://diendantoanho...hm-cắt-ab-ac-t/)

Mà $XY\parallel NS$
=> Q là trung điểm NS

 

Cho góc nhọn xOy và một điểm A ở trong góc đó.  

  a) Tìm điểm B thuộc Ox, điểm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 

  b) Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC nếu A nằm trên 

đường phân giác của góc xOy và cách O một khoảng b=12,3456cm.

Làm kĩ ý b, nha

a)Lấy M, N lần lượt là điểm đối xứng với A qua Ox và Oy

Ta có: $P(ABC)= AB+AC+BC= BM+BC+CN \geq MN$
Dấu bằng xảy ra khi M,B,C,N thẳng hàng
Vậy chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi B,C thuộc MN

b) Theo phần a, chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi B,C,M,N thẳng hàng
OA cắt MN tại H, dễ dàng chứng minh được $\widehat{AHN }=90^{o}$

$\Rightarrow \widehat{HNA }=\widehat{ AOy}=\frac{\widehat{xOy}}{2}$

$\Rightarrow MinP(ABC)= 2HN=2. AN.cos\widehat{ANH}=4b.cos\frac{\widehat{xOy }}{2} (b=12,3456cm.)$
 

Cho tam giác ABC có góc A bằng 60 độ nội tiếp (O;R). Chứng minh rằng AB+AC $\leq 2R\sqrt {3} $

Kéo dài BO cắt (O) tại M

$\widehat{BMC}=\widehat{BAC}=60^{o}$
$\widehat{BCM}=90^{o}$ (do BM là đường kính)
Suy ra tam giác BMC là tam giác nửa đều
Lại có $BM=2R\Rightarrow BC=\sqrt{3}R (1) $
Vẽ phân giác AD của tam giác ABC
Kẻ BH, CK vuông góc với AD (H,K thuộc AD)
Chứng minh được $AB=2BH; AC=2CK \Rightarrow AB+AC=2(BH+CK)\leq 2(BD+CD)=2BC (2) $
Kết hợp (1) và (2) $\Rightarrow AB+AC=2(BH+CK)\leq 2\sqrt{3}R$
=> ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương không : $11,111,1111,11111,...$

Tất cả các số trong dãy đều có 2 chữ số tận cùng là 11. Mà 11 chia 4 dư 3 => Tất cả các số trong dãy cũng chia 4 dư 3.
Ta chứng minh được 1 số chính phương chia 4 chỉ dư 0 hoặc 1

=> Trong dãy không có số nào là số chính phương

Bài 1 : Cho tam giác ABC có $\widehat{C} = 50^{\circ} , \widehat{B} = 30^{\circ}$. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = AC. So sánh CM và AB

 

Vẽ tam giác đều ABD, AD cắt BC tại E
$\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{ABD}=\widehat{DBA}=60^{\circ}$
$\widehat{BED}=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$
Mà $\widehat{DBC}=30^{\circ}$
$\Rightarrow$ E là trung điểm AD và BC là trung trực AD
$\Rightarrow AC=AD$
$\Rightarrow \triangle AMC=\triangle CAD (c.g.c)$ 
$\Rightarrow MC=AD=AB$

Bài 2 : Cho tam giác ABC có $\widehat{B} = 45^{\circ}$. Trên cạnh BC lấy điểm P sao cho PC = 2PB và $\widehat{APC} = 60^{\circ}$. Tính $\widehat{ACB}$ = ?

Gọi H là chân đường vuông góc từ C xuống AP

Ta có: PC=2PH => $ PH=PB \Rightarrow \widehat{PBH}=30^{\circ}=\widehat{HCB}, \widehat{ABH}=15^{\circ}=\widehat{BAH}$

$HB=HC, HB=HA \Rightarrow HA=HC\Rightarrow \widehat{HCA}=45^{\circ}\Rightarrow \widehat{ACB}=75^{\circ}$

 

bài 1: Cho $a,b,c > 0$ thoả mãn $3{a^2} + 4{b^2} \le 7{c^2}$

Chứng minh rằng: $\dfrac{3}{a} + \dfrac{4}{b} \ge \dfrac{7}{c}$

 

Ta có: $(3a+4b)^2 \leq (3a^2+4b^2)(3+4) \leq (7c)^2$ (BĐT Bunhiakovski)

$\Rightarrow 3a+4b \leq 7c $ (vì $a,b,c > 0$)
$\Rightarrow \frac{3}{a}+\frac{4}{b} \geq \frac {(3+4)^2}{3a+4b} \geq \frac{7}{c}$ (BĐT cộng mẫu) => ĐPCM

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Gọi D là trung điểm của HC. Đường thẳng qua H vuông góc với HD cắt AB tại E. CMR B là trung điểm của AE

 

hinh.png

Chỗ màu đỏ là AD chứ bạn

 

2.a,b,c,d $\epsilon \mathbb{R}$

    CMR $a^2+b^2+c^2+d^2\geq a(b+c+d)$

 

   

Bài 2 ở đây: http://diendantoanho...b2c2d2geq-abcd/

tại sao bạn không sử dụng cô-si luôn  ?

         

                         min =2 khi (x²   + 2015)² =1

 

 

Vậy thì $x^{2}$ âm => Không xảy ra dấu bằng

Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc cạnh BC khác B và C .Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AM và DC.

Chứng minh rằng :$\frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}$

 

Cách giải khác: Kẻ AH vuông góc với AN (H thuộc đường thẳng CD)

$\Delta HAD=\Delta MAB(g.c.g)\Rightarrow AH=AM$

Tam giác HAM vuông tại A, đường cao AD

=> $AD^{2}=DH.DN$

$AH^{2}=DH.HN$

$AN^{2}=DN.HN$

$\Rightarrow \frac{AD^{2}}{AH^{2}}+\frac{AD^{2}}{AN^{2}}=1\Rightarrow \frac{1}{AH^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}=\frac{1}{AD^{2}}\Rightarrow \frac{1}{AM^{2}}+\frac{1}{AN^{2}}=\frac{1}{AB^{2}}$

Cho M=$\frac{a^{2}+2a}{a^{2}+a+1}+\left ( 2+\frac{1}{a-1}-\frac{2a^{3}+a^{2}-a}{a^{3}-1} \right ):\frac{2a-1}{a-a^{2}}$

 

 

b,Tìm GTNN của M

$M=\frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}= \frac{-1}{3}+\frac{\frac{4}{3}.(a+\frac{1}{2})^{2}}{a^{2}+a+1}\geq \frac{-1}{3}$

Vậy MinM= $\frac{-1}{3}$ khi $x=\frac{-1}{2}$

 

c. Gọi E là hình chiếu của H trên AC. M,N là trung điểm của EH, EC. Chứng minh AM vuông góc HN và $\frac{BC^{2}}{AH^{2}}=\frac{4.EC}{AE}$

 

 MN // HC (theo tính chất đường trung bình) => MN vuông góc với AH

Lại có HE vuông góc với AN => M là trực tâm của tam giác AHN =>AM vuông góc HN

Sử dụng hệ thức lượng cho tam giác AHC vuông tại H có đường cao HE ta được: 

$HC^{2}=EC.AC$

$HA^{2}=AE.AC$

$\Rightarrow \frac{HC^{2}}{AH^{2}}=\frac{EC}{AE}\Rightarrow \frac{BC^{2}}{AH^{2}}=\frac{4.HC^{2}}{AH^{2}}=\frac{4.EC}{AE}$