Thu Huyen 21

cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của AC, đường thẳng đi qua A vuông góc BM cắt BC tại D tính tỉ số BD và CD

Gọi H là giao điểm của AD và BM

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác BAM vuông tại A có AH là đường cao ta được: $\frac{MH}{BH}=\frac{AM^{2}}{AB^{2}}=\frac{1}{4}$

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác BMC với D,H,A thẳng hàng ta được: 

$\frac{BD}{CD}.\frac{CA}{MA}.\frac{MH}{BH}=1\Leftrightarrow \frac{BD}{CD}.2.\frac{1}{4}=1\Rightarrow \frac{BD}{CD}=2$

 

c. Gọi E là hình chiếu của A trên AC. M,N là trung điểm của EH, EC. Chứng minh AM vuông góc HN và $\frac{BC^{2}}{AH^{2}}=\frac{4.EC}{AE}$

Mình xong hết a,b rồi.Mọi xem giúp câu c nhé

Bạn xem lại đề chỗ này

Theo công thức tính đường phân giác ta có: $AD^2=AB.AC-DB.DC$

=> $AD^2=bc-\frac{a^2bc}{(b+c)^2}$

Vì AD>0 $\Rightarrow AD=\sqrt{bc-\frac{a^{2}bc}{(b+c)^{2}}}$

Chứng minh $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ

 

Đặt $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=a$

$\Rightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}=a-\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}=(a-\sqrt{5})^{2}$

$\Leftrightarrow 5+2\sqrt{6}=a+5-2a\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{2}=a\sqrt{5}+\sqrt{6}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{4}=5a^{2}+2a\sqrt{30}+6$

$\Leftrightarrow \sqrt{30}=(\frac{a^{2}}{4}-5a^{2}-6):2a$

Nếu a là số hữu tỉ => $\sqrt{30}$ là số hữu tỉ => Vô lý => Loại
=> a là số vô tỉ 

Vậy $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ không phải là số hữu tỉ

Bài của bạn đã được bạn Lehalinhthcshb làm ở đây: http://diendantoanho...2ac22-fracbc24/

Giả sử $(b-1)(c-1)\geqslant 0$, khi đó ta có $b^2c^2+1\geqslant b^2+c^2$

$(b^2+3)(c^2+3)=(b^2c^2+3b^2+3c^2+9)\geqslant 4(b^2+c^2+2)$

Do đó $VT\geqslant 4(a^2+1+1+1)(1+b^2+c^2+1)\geqslant 4(a+b+c+1)^2$

Bạn bị nhầm một chỗ nhỏ kìa , là $(b^{2}-1)(c^{2}-1)\geqslant 0$ nhé

Giả sử $(b-1)(c-1)\geqslant 0$, khi đó ta có $b^2c^2+1\geqslant b^2+c^2$

$(b^2+3)(c^2+3)=(b^2c^2+3b^2+3c^2+9)\geqslant 4(b^2+c^2+2)$

Do đó $VT\geqslant 4(a^2+1+1+1)(1+b^2+c^2+1)\geqslant 4(a+b+c+1)^2$

Còn trường hợp (b-1)(c-1) < 0 thì sao ạ

 Chứng minh rằng nếu p và 8p -1 là các số nguyên tố thì 8p + 1 là hợp số.

Xét số dư cho 3

Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa $x+y+z=9$.Tìm $GTNN$ : $\sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$

$\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}+\frac{y^{3}}{y^{2}+yz+z^{2}}+\frac{z^{3}}{z^{2}+zx+x^{2}}=\frac{x^{4}}{x^{3}+x^{2}y+y^{2}x}+\frac{y^{4}}{y^{3}+y^{2}z+z^{2}y}+\frac{z^{4}}{z^{3}+z^{2}x+x^{2}z}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})}=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(x+y+z)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}:3}{(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)}{3}=3$

cho x,y>0 và x+y=1 chứng minh

 

 

 

$8(x^{4}+y^{4})+\frac{1}{xy}\geq 5$

.Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$x^4+y^4\ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\ge \dfrac{(x+y)^4}{8}=\dfrac{1}{8}$
$\Rightarrow 8(x^4+y^4) \ge 1$
mặt khác $\frac{1}{xy}\geq
\frac{1}{(x+y)^{2}:4}=\frac{4}{(x+y)^{2}}=4$
Ta có đpcm.Dấu "=" khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

bài 1: cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB), đường cao AH ($H\epsilon BC$). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. M là trung điểm của BE. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng $\frac{GB}{BC}=\frac{HD}{AH+HC}$

 

http://diendantoanho...acgbgcfrachdhc/

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn $ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{6}}{c^{3}+a^{3}}$

Ta có: $a^{3}+b^{3}\geq 2\sqrt{a^{3}.b^{3}}=2ab\sqrt{ab}$
$b^{3}+c^{3}\geq 2\sqrt{b^{3}.c^{3}}=2bc\sqrt{bc}$

$a^{3}+c^{3}\geq 2\sqrt{a^{3}.c^{3}}=2ac\sqrt{ac}$

=> $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}$=1
Sử dụng BĐT cộng mẫu ta có: $P=\frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}+\frac{b^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{c^{6}}{c^{3}+a^{3}}$

$\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}=\frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{2}\geq \frac{1}{2}$
Vậy min P = $\frac{1}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt nằm trên cạnh AB, BC sao cho AM=CN. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng  AN. Chứng minh rằng tam giác DHM vuông

 

Kẻ MK vuông góc với DC ( K nằm trên CD), gọi I là giao điểm của AK, DM
Ta chứng minh được 2 tam giác ABN và BCK bằng nhau theo trường hợp c.g.c => B,H,K thẳng hàng
$\Rightarrow \widehat{AHK}=90^{o}$
Ta lại có AMDK là hình chữ nhật => AI=IM=IK=ID
TAm giác AHK vuông tại H, trung tuyến HI => HI=AI=IM=ID
Tam giác DMH có trung tuyến IH bằng một nửa DM => tam giác DMH vuông tại H (ĐPCM)

Cho X là một điểm nằm trên cạnh AB của hình bình hành ABCD. Đường thẳng qua X song song với AD cắt AC tại M và cắt BD tại N. XD cắt AC tại P và XC cắt BD tại Q.

Chứng minh rằng $\frac{MP}{AC}+\frac{NQ}{BD}\geq \frac{1}{3}$

Mình có cách giải khác:
Ta có: $\frac{AP}{AC}=\frac{AX}{AX+AB}$; $\frac{MC}{AC}=\frac{XB}{AB}$
Suy ra: $\frac{MP}{AC}=1-\frac{AP}{AC}-\frac{MC}{AC}=1-\frac{BX}{AB}-\frac{AX}{AX+AB}=\frac{AX}{AB}-\frac{AX}{AX+AB}$

$=AX.(\frac{1}{AB}-\frac{1}{AX+AB})= \frac{AX^{2}}{AB(AX+AB)}$

Tương tự có: $\frac{NQ}{BD}=\frac{BX^{2}}{(BX+AB)AB}$

$\Rightarrow \frac{MP}{AC}+\frac{NQ}{BD}=\frac{AX^{2}}{AB(AX+AB)}+\frac{BX^{2}}{AB(BX+AB)}\geq \frac{(AX+BX)^{2}}{2AB^{2}+(AX+BX)AB}=\frac{AB^{2}}{3AB^{2}}=\frac{1}{3}$
Dấu bằng xảy ra khi X là trung điểm AB

Có một cô bé mắc chứng mất trí nhớ tạm thời.Một hôm cô bé báo có án mạng ở nhà cô.Lúc cảnh sát tới cô đang ăn Bít Tết (vì cô quá sợ hãi nên đói).Hiện trường vụ án là sân sau.Bố mẹ cô bé bị giết thảm.Tên sát nhân đã xé xác họ ra thành từng mảnh.Hỏi tên sát nhân là ai??

Tên sát nhân chính là cô bé. Cô bé đã giết bố mẹ rồi xé xác họ thành từng mảnh rồi ăn (như đề bài đã đề cập Lúc cảnh sát tới cô đang ăn Bít Tết). Sau đó, cô bị mất trí nhớ, nhìn thấy bố mẹ chết nên quá sợ hãi đã gọi cảnh sát tới và ăn tiếp phần thịt còn lại.
Truyện này mình thấy giống Creepy Pasta hơn