tanpham90

Người ta cần cắt những thanh sắt 4m thành 600 đoạn 1.5m; 400 đoạn 1.2m; 300 đoạn 0.8m. Hãy lập mô hình bài toán và đề xuất phuơng án cắt sao cho số sắt thừa là nhỏ nhất

Chứng minh rằng $\forall n \in N$ bất đẳng thức sau luôn đúng :
$(a+b)^{2n}+(b+c)^{2n}+(c+a)^{2n} \geq\ \dfrac{2^{2n}}{3^{2n-1}+1}(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}+(a+b+c)^{2n})$

Chứng minh bất đẳng thức :
$2(a^{6}+b^{6}+c^{6})+3(a^{5}(b+c)+b^{5}(c+a)+c^{5}(a+b)) \geq\ 2(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3})+3abc(a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b))$

Phần chung cho thí sinh :

Câu I : (2 điểm)
Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}+4$ (1)
1) khảo sát sư biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
2) chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm $I(1;2)$ với hệ số góc $k$ ( $k>-3$ ) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt $I,A,B$ đồng thời $I$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$

Câu II : (2 điểm)
1) Giải phương trình : $2sin(x)(1+cos(2x))+sin(2x)=1+2cos(x)$
2) Giải hệ phương trình :
$xy+x+y=x^{2}-2y^{2}$
$x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y$

Câu III : (2 điểm)
Trong không gian cho hệ tọa độ $Oxyz$ , cho bốn điểm $A(3;3;0)$ ; $B(3;0;3)$ ; $C(0;3;3)$ ; $D(3;3;3)$ .
1) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm $A;B;C;D$
2) Tìm tọa đồ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Câu IV : (2 điểm)
1) Tính tích phân :
$ \int\limits_{1}^{2} \dfrac{Ln(x)}{x^{3}}$
2) Cho $x,y$ la hai số thực không âm . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
$P=\dfrac{(1-xy)(x-y)}{(1+x)^{2}(1+y)^{2}}$

Phần riêng :

Câu VA : Không phân ban (2 điểm)
1) Tìm số nguyên dương $n$ Thỏa mãn hệ thức :
$\sum_{k=1,n} C^{2k-1}_{2n}=2048$
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho Pârabol (P) : $y^{2}=16x$ và điểm $A(1,4)$ . Hai điểm phân biệt $B,C$ khác $A$ di động trên (P) sao cho góc $BAC=90^{0}$ . Chứng minh rằng đường thằng $BC$ luôn đi qua một điểm cố định

Câu VB : Phân ban (2 điểm )
1) Giải bất phương trình : $log_{\dfrac{1}{2}} \dfrac{x^{2}-3x+2}{x} \geq\ 0$
2) Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông , $AB=BC=a$ , cạnh bên của lăng trụ $AA'=a\sqrt{2}$ . Gọi M là trung điểm của $BC$ . Tính theo $a$ thể tích của khối lăng trụ : $ABC.A'B'C'$ và khoảng cach giữa hai đường thẳng $AM,B'C$

Hết

Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam Ngày 2 (30/3/2008)


Bài 1 :

Cho $m$ và $n$ là các số nguyên dương . Chứng minh rằng $(2m+3)^n+1 \vdots (6m) \Leftrightarrow (3^n+1) \vdots (4m)$

Bài 2 :

Tam giác $ABC$ có phân giác $AD$ , $BE$ , $CF$ , $k$ là số thực dương cho trước . Trên $AD$ , $BE$ , $CF$ lần lượt lấy các điểm $L$ , $M$ , $N$ sao cho $\large \dfrac{AL}{AD}=\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{CN}{CF}=k$ . $(O_1)$ là đường tròn qua $A$ , $L$ và tiếp xúc với $OA$ tại $A$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . $(O_2)$ , $(O_3)$ cũng xác định tương tự

a) Cho $k=1/2$ chứng minh $(O_1)$ , $(O_2)$ , $(O_3)$ cùng đi qua $2$ điểm và hai điểm đó cùng đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$

b) Với giá trị nào của $\large k>0 $để $(O_1)$ , $(O_2)$ , $(O_3)$ cùng đi qua $2$ điểm .

Bài 3 :
Cho $M$ là tập hợp của $2008$ số nguyên dương đầu tiên , mỗi số đó được tô bởi một trong $3$ màu : xanh , đỏ và vàng , và mỗi màu thì được tô ít nhất một số , xét $2$ tập :

$A=$ { $(x,y,z)$ thuộc $M$ mà $x$ , $y$ , $z$ tô cùng màu , $x+y+z$ chia hết cho $2008$ }

$B=$ { $(x,y,z)$ thuộc $M$ mà $x$ , $y$ , $z$ tô khác màu nhau , $x+y+z$ chia hết cho $2008$ }

Trong bộ $(x,y,z)$ thì $x$ , $y$ , $z$ không nhất thiết phân biệt

Chứng minh rẳng : Số phần tử của $B$ nhỏ hơn $2$ lần số phần tử của $A$