Bài 3:
Ta có:
${{u}_{1}}=2019$
${{u}_{2}}=\frac{1}{4-3{{u}_{1}}}=\frac{1}{4-3.2019}$
${{u}_{3}}=\frac{1}{4-3{{u}_{2}}}=\frac{1}{4+\frac{3}{3.2019-4}}\Rightarrow 0<{{u}_{3}}<\frac{1}{3}$
Từ đây dùng quy nạp ta chứng minh được: $0<{{u}_{n}}<\frac{1}{3}\,\,\,,\forall n\ge 3$.
Do đó: ${{u}_{n+1}}=\frac{1}{4-3{{u}_{n}}}\,\,\,,n\ge 1$.
Ta có: ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{4-3{{u}_{n}}}-{{u}_{n}}=\frac{\left( 3{{u}_{n}}-1 \right)\left( {{u}_{n}}-1 \right)}{4-3{{u}_{n}}}>0$ (vì $0<{{u}_{n}}<\frac{1}{3}\,\,\,,\forall n\ge 3$)
Suy ra: dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ tăng bắt đầu từ số hạng thứ 3 trở về sau.
Vậy, dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ hội tụ. Giả sử $\lim {{u}_{n}}=a$.
Khi đó: \[a\left( 4-3a \right)=1\Leftrightarrow a=1 \text{ hoặc } a=\frac{1}{3} \Rightarrow a=\frac{1}{3}\].
Vậy, $\lim {{u}_{n}}=\frac{1}{3}$