hanguyen445

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx} = 3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{x^3+x} + \sqrt{y^3+y} + \sqrt{z^3+z} \geq \sqrt{6(x+y+z)}$

Ta có ${{x}^{3}}+x\ge 2{{x}^{2}}\Rightarrow \sqrt{{{x}^{3}}+x}\ge \sqrt{2}x$. Do đó ta suy ra được $\sum{\sqrt{{{x}^{3}}+x}}\ge \sqrt{2}\left( x+y+z \right)$. Chú ý rằng $\sqrt{2}\left( x+y+z \right)=\sqrt{6\left( x+y+z \right)}.\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}$ và $\sum{{{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow x+y+z\ge \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}$ hay $x+y+z\ge 3$. Do đó ta suy ra được $\sum{\sqrt{{{x}^{3}}+x}}\ge \sqrt{6\left( x+y+z \right)}$. Hoàn tất chứng minh.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x^2+y^2+z^2=3$. Chứng minh rằng: $\frac32<\frac{1+y^2}{x+2}+\frac{1+z^2}{y+2}+\frac{1+x^2}{z+2}<3$

Đặt $P=\frac{{{x}^{2}}+1}{z+2}+\frac{{{y}^{2}}+1}{x+2}+\frac{{{z}^{2}}+1}{y+2}$

+) Chứng minh bất đẳng thức ở vế trái:

Ta có $P=\frac{{{x}^{2}}}{z+2}+\frac{{{y}^{2}}}{x+2}+\frac{{{z}^{2}}}{y+2}+\sum{\frac{1}{x+2}}\ge \frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}+9}{x+y+z+6}$.

 Ta chứng minh $\frac{{{\left( x+y+z \right)}^{2}}+9}{x+y+z+6}>\frac{3}{2}$, thật vậy điều này tương đương với $2{{\left( x+y+z \right)}^{2}}>3\left( x+y+z \right)\Leftrightarrow x+y+z>\frac{3}{2}$(**).

Lại có $3={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}<{{\left( x+y+z \right)}^{2}}\Leftrightarrow x+y+z>\sqrt{3}$, $\sqrt{3}=\sqrt{\frac{9}{3}}>\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\Rightarrow x+y+z>\frac{3}{2}$. Như vậy (**) được chứng minh. Hay $P>\frac{3}{2}$.

+) Chứng minh bất đẳng thức ở vế phải:

Do bài toán hoán vị vòng quanh với ba biến $x,y,z$. Không giảm tổng quát, giả sử $z=\min \left\{ x;y;z \right\}$. Khi đó có

$P\le \frac{{{x}^{2}}+1}{z+2}+\frac{{{y}^{2}}+1}{z+2}+\frac{{{z}^{2}}+1}{z+2}=\frac{1}{z+2}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+3 \right)=\frac{6}{z+2}<\frac{6}{2}$

Hay ta có $P<3$. Như vậy phép chứng minh hoàn tất.

Cho $a,b$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}+\frac{b}{\sqrt{a^3+1}}$

Ta có \[2\sqrt{{{b}^{3}}+1}=2\sqrt{\left( b+1 \right)\left( {{b}^{2}}-b+1 \right)}\le {{b}^{2}}+2;\text{ }2\sqrt{{{a}^{3}}+1}\le {{a}^{2}}+2\]. Do đó ta suy ra được

\[\frac{P}{2}\ge \frac{a}{{{b}^{2}}+2}+\frac{b}{{{a}^{2}}+2}=\frac{{{a}^{2}}}{a{{b}^{2}}+2a}+\frac{{{b}^{2}}}{2b+b{{a}^{2}}}\ge \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{2\left( a+b \right)+ab\left( a+b \right)}\ge \frac{16}{8+{{\left( a+b \right)}^{2}}}=\frac{16}{8+16}=\frac{2}{3}\]

Hay $P\ge \frac{4}{3}$. Dấu = xảy ra khi $a=b=2$. Như vậy thì giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{4}{3}$.

Dễ nhận thấy với A, B, C là các góc trong tam giác thì $\frac{A+B}{2};\frac{C}{2}+\frac{\pi }{6}\in \left( 0;\pi  \right)\Rightarrow \sin \frac{A+B}{2},\sin \left( \frac{C}{2}+\frac{\pi }{6} \right)>0$; $\frac{\left| A-B \right|}{2},\left| \frac{C}{2}-\frac{\pi }{6} \right|\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]$$\Rightarrow 0\le \cos \frac{A-B}{2},\cos \left( \frac{C}{2}-\frac{\pi }{6} \right)\le 1$. Do đó ta có các đánh giá

$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\le 2\sin \frac{A+B}{2}$ ;  $\sin C+\sin \frac{\pi }{3}=2\sin \left( \frac{C}{2}+\frac{\pi }{6} \right)\cos \left( \frac{C}{2}-\frac{\pi }{6} \right)\le 2\sin \left( \frac{C}{2}+\frac{\pi }{6} \right)$

Suy ra được

$$ T=\sin A+\sin B+\sin C+\sin \frac{\pi }{3}\le 2\sin \frac{A+B}{2}+2\sin \left( \frac{C}{2}+\frac{\pi }{6} \right)=4\sin \left( \frac{A+B+C}{4}+\frac{\pi }{12} \right)\cos \left( \frac{\pi -2C}{4}-\frac{\pi }{12} \right) $$

 $$ T\le 4\sin \left( \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{12} \right)\cos \left( \frac{C}{2}-\frac{\pi }{6} \right)\le 4\sin \frac{\pi }{3}\Leftrightarrow \sin A+\sin B+\sin C\le 3\sin \frac{\pi }{3}$$

Hay $\sin A+\sin B+\sin C\le \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Hoàn tất chứng minh.

 

Cho $x,y$ là các số thực thoả mãn: $x^2+xy+y^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $K=x^3y+y^3x$

Biến đổi $K={{x}^{3}}y+x{{y}^{3}}=xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=xy\left( 1-xy \right)=-{{t}^{2}}+t,\text{ }t=xy$

            $1={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy\ge 3xy\Rightarrow xy\le \frac{1}{3}$ hay $t\le \frac{1}{3}$.

            $K=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\left( t-\frac{1}{3} \right)-{{\left( t-\frac{1}{3} \right)}^{2}}$$\le \frac{2}{9},\forall t\le \frac{1}{3}$. Dấu = xảy ra khi $t=\frac{1}{3}$ hay $x=y=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Lại có $1={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy\ge -2xy+xy\Rightarrow xy\ge -1$ hay $t\ge -1$

            Nếu $xy\ge 0\Rightarrow K=xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\ge 0$

            Nếu $xy\le 0\Rightarrow 0\ge t\ge -1$. Khi đó $K=t-{{t}^{2}}=\left( 1-t \right)\left( 1+t \right)+\left( t+1 \right)-2=\left( t+1 \right)\left( 2-t \right)-2$. Do $0\ge t\ge -1\Rightarrow 2-t\ge 0,\text{ }t+1\ge 0$. Do đó ta suy ra được $K\ge -2$. Dấu = xảy ra khi $t=-1\Rightarrow \left( x;y \right)=\left( 1;-1 \right)$

Như vậy giá trị lớn nhất của K bằng $\frac{2}{9}$, giá trị nhỏ nhất bằng $-2$.