1/ tìm các số nguyên $x,y,z$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+3=0$.
2/ Cho $t$ là số nguyên, chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên $x,y,z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+4t=0$ thì cũng tồn tại các số nguyên $x',y',z'$ khác $0$ sao cho $x'+y'+z'=0$ và $x'y'+y'z'+z'x'+t=0$.
3/ với $d$ là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên $x,y,z$ khác $0$ sao cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx+2^{d}=0$
Bài 2. Ta có
$xy+yz+zx=-4t \Rightarrow xy+yz+zx\equiv 0(mod 4)$; $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx)\Rightarrow x^2+y^2+z^2\equiv 0(mod 4) (*)$
Chú ý rằng $\forall t\in R $ thì $t^2\equiv 0;1(mod 4)$, kết hợp với (*) ta suy ra $x^2,y^2,z^2\equiv 0(mod 4)\Rightarrow x;y;z\equiv 0(mod 2) $
Đặt $(x;y;z)=(2x';2y';2z')\ne (0;0;0)$ (***), thay ngược lại vào đẳng thức $xy+yz+zx+4t=0$ thì ta có
$$x'+y'+z'+t=0$$
Từ (***) hiển nhiên $(x';y';z')\ne (0;0;0)$, do đó phép chứng minh hoàn tất.
- Hahahahahahahaha yêu thích