MathSpace001

2c, 240=16.3.5=> n⁴-1 chia hết cho 240 <=> n⁴-1 chia hết cho 16, 3 và 5

+) n⁴-1 chia hết cho 16=> n là số lẻ

 Giả sử n=2k + 1=> n⁴-1=(2k+1)⁴-1=(4k²+4k+1)²-1= (4k²+4k)²+2(4k²+4k)+1-1=16(k²+k)²+8k(k+1) chia hết cho 16

+) n⁴-1 chia hết cho 3 thì n⁴ phải chia 3 dư 1=> n ko chia hết cho 3

+) n⁴-1 chia hết cho 5 thì n⁴-1 phải có tận cùng bằng 5 hoặc 0=> n⁴ tận cùng bằng 6 hoặc 1=> n tận cùng bằng 1;2;3;4;6;7; 8;9

Đk là n lẻ, n ko chia hết cho 3 và n ko có tận cùng bằng 5 và n là số tự nhiên

  Mình kiểm tra lại thì thấy lộn dấu thật.

Câu 1 Với m,n,a,b,x,y thuộc N,ta

Gọi năm mà người đó đến trường là $\overline{199n}$($0\leq n\leq 9$)(do Một ngày thập kỉ cuối cùng của thế kỉ XX)

Gọi năm sinh của Mai là $\overline{19xy}$($0\leq x,y\leq 9$)

Gọi năm sinh của bạn mai là \overline{19ab}$($0\leq a,b\leq 9$)

Ta có tuổi của Mai=$\overline{199n}-\overline{19xy}$=10m+n-10x-y

          tuổi của bạn Mai =\overline{199n}-\overline{19ab}$=10m+n-10a-b

Theo đề ra ta có   90+n-10x-y=90+n-10a-b+1

                        <=>90+n-10x-y-90-n+10a+b=1

                        <=>10(a-x)+(b-y)=1

Vì 2 người này chỉ hơn nhau 1 tuổi nên xảy ra 2 trường hợp 

*Trường hợp 1:         a=x, b=y+1

Nhưng tổng các chữ số năm sinh của 2 em là số chẵn => Tổng các chữ số năm sinh của Mai= 10+x+y

                                                                                            Tổng các chữ số năm sinh của bạn Mai =10+a+b=10+x+y+1

Rõ ràng 10+x+y và 10+x+y+1 là 2 số liên tiếp nên không xảy ra trường hợp này.

*Trường hợp 2:         a-x=1 => b-y= -9 hay y-b=9( nếu a-x>1 thì học sẽ hơn nhau số tuổi >1)

vì 0\leq y\leq 9; 0\leq b\leq 9=>y=9; b=0$\overline{19a0}=\overline{19x9}+1 và để tổng các chữ số của 2 năm sinh trên chẵn thì a chắn , x lẻ=>x=1;3;5;7; a= 2;4;6;8$

Có lẽ 2 em này là học sinh nên ông ta lấy x=7; a=8 vì nếu x và a nhận các giá trị còn lại thì 2 bạn này chẳng phải là em học sinh nữa.

Câu 2.   Xét mọi trường hợp chẵn lẽ của a,b,c,d ta thấy đều có 2 thừa số chẵn trở lên=> Tích chia hết cho 4(*)

             Theo nguyên lí Đi-rich-lê, trong 4 số a,b,c,d luôn có 2 số có cùng số dư với 3=> Hiệu 2 số đó chia hết cho 3=>Tích chia hết cho 3(**)

Vì (3,4)=1 nên từ (*)và (**)=> tích chia hết cho 12.

b.   để có đẳng thức trên ta phải chứng minh 2(a⁴+b⁴+c⁴)=(a²+b²+c²)²

Ta có     2(a⁴+b⁴+c⁴) - (a²+b²+c²)²

           = 2(a⁴+b⁴+c⁴)-(a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²+2b²c²+2a²c²)

          = a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a= (a⁴-2a²b²+b⁴)-2c²(a²-b²)+c⁴-4b²c²

          = (a²-b²)²-2c²(a²-b²)+c⁴-(2bc)² 

          = (a²-b²-c²)²-(2bc)²

          = (a²-b²+2bc-c²)(a²-b²-2bc-c²)

          = (a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)

          =0