Đến nội dung

Cuongpa

Cuongpa

Đăng ký: 25-03-2015
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#719503 $VMO2019$

Gửi bởi Cuongpa trong 14-01-2019 - 23:02

$5a.$

Ta có:

 $(x^2-\frac{\sqrt{15}}{2}x+1)(x^2+\frac{\sqrt{15}}{2}x+1)=x^4-\frac{7}{4}x^2+1$

$(x^4-\frac{7}{4}x^2+1)(x^4+\frac{7}{4}x^2+1)=x^8-\frac{17}{16}x^4+1$

$(x^8-\frac{17}{16}x^4+1)(x^8+\frac{17}{16}x^4+1)=x^{16}+\frac{223}{256}x^8+1$

Từ đó suy ra kết quả  :mellow:




#700850 Cấp số cộng - cấp số nhân

Gửi bởi Cuongpa trong 26-01-2018 - 22:44

Tìm 2 số thực x,y sao cho 3 số $1$ , $x-1$ , xy+x+2y2-1  thứ tự lập thành cấp số nhân và 3 số  $(x-1)\sqrt{2y}$ , $x-y$ , $2- y\sqrt{x-2}$ thứ tự lập thành cấp số cộng

 

 3 số $1, x-1,$ $xy+x+2y^2-1$ lập thành CSN khi và chỉ khi       

                                                                     $xy+x+2y^2-1=(x-1)^2$

                                                                     $\Leftrightarrow (x-\frac{y}{2}-\frac{3}{2})^{2}=(\frac{3}{2}y+\frac{1}{2})^2$

                                                                     $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-2y=2\\ x+y=1 \end{bmatrix}$

 3 số $(x-1)\sqrt{2y}$ , $x-y$ , $2- y\sqrt{x-2}$ lập thành CSC khi và chỉ khi $(x-1)\sqrt{2y}+2-y\sqrt{x-2}=2(x-y)$

Tới đây bạn thay từ hệ phương trình của $x,y$ tìm được ở trên thay vào và giải ra $x=6;y=2$




#700257 Giải phương trình $2^{2x}-\sqrt{2^{x}+6...

Gửi bởi Cuongpa trong 13-01-2018 - 22:56

Đặt $t=\sqrt{2^{x}+6}(t>0)$.

Khi đó phương trình đã cho tương đương: $(t^2-6)+t=6\iff t^2-t-12=0\iff (t-4)(t+3)=0\implies t=4(t>0)$.

 

Hình như $2^{2x}=(2^{x})^2=(t^2-6)^2$ chứ




#695738 Cho $x,y,z \in [0;2]$. CMR $2(x+y+z)-(xy+yz+xz)\leq...

Gửi bởi Cuongpa trong 28-10-2017 - 23:23

Cho $x,y,z \in [0;2]$. CMR $2(x+y+z)-(xy+yz+xz)\leq 4$

Do $x,y,z \in [0;2]$ nên ta có bất đăng thức:

$(x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$

$\Leftrightarrow 2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leq 4-\frac{xyz}{2}\leq 4$ (do $x,y,z\geq 0$ nên $xyz\geq 0$ )

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} xyz=0\\ (x-2)(y-2)(z-2)=0 \end{matrix}\right.$, tức là $x=0;y=2;z\in \left [ 0;2 \right ]$ và các hoán vị




#694543 Giải phương trình lượng giác

Gửi bởi Cuongpa trong 10-10-2017 - 20:57

ĐKXĐ: $\frac{-1}{2}\leq cos2x\leq \frac{1}{2}$

Đặt $\sqrt[4]{\frac{1}{2}-cos2x}=a; \sqrt[4]{\frac{1}{2}+cos2x}=b (a,b\geq 0)$ ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a+b=1\\ a^4+b^4=1 \end{matrix}\right.$

Thế $b=1-a$ vào phương trình thứ 2 rồi phân tích nhân tử ta được 

$a(a-1)(a^2-a+2)=0$

Suy ra $a=0$ hoặc $a=1$ theo ĐKXĐ ở trên, đến đây bạn tự giải tiếp.




#686151 $\sqrt{x} + \sqrt{y}=\sqrt{5+...

Gửi bởi Cuongpa trong 01-07-2017 - 15:20

a có thể ns rõ hơn không?

thì $10+2\sqrt{24}=(2+\sqrt{6})^{2}$ thôi

À mà thực ra không cần nhân lên, anh nhầm một tí, vốn dĩ $5+\sqrt{24}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}$ là một hằng đẳng thức rồi




#683606 Tìm Min

Gửi bởi Cuongpa trong 08-06-2017 - 05:13

cho a,b,c dương thay đổi thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$

tìm Min của $P=a(a-2b+2)+b(b-2c+2)+c(c-2a+2)+\frac{1}{abc}$

Từ giả thiết ta có:

$a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}$

$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-(a+b+c)\sqrt{ab+bc+ca}+2(ab+bc+ca)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b+c+\sqrt{ab+bc+ca})(a+b+c-2\sqrt{ab+bc+ca})\geq 0$

$\Leftrightarrow a+b+c\geq 2\sqrt{ab+bc+ca}$ $(1)$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(ab+bc+ca)$

Do đó $P\geq 2(a+b+c)+\frac{1}{abc}$

Không mất tính tổng quát giả sử $a=max\left \{ a;b;c \right \}$. 

Khi đó từ $(1)$ ta có:

$(a+b+c)^2\geq 4(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-2c(a+b)+c^2-4ab\geq 0$

$\Leftrightarrow (a+b-c-2\sqrt{ab})(a+b-c+2\sqrt{ab})\geq 0$

$\Leftrightarrow a+b\geq c+2\sqrt{ab}$  (vì hiển nhiên $a+b-c+2\sqrt{ab}\geq 0$)

Do đó:

$P\geq 4c+4\sqrt{ab}+\frac{1}{abc}=4c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ab}+\frac{1}{abc}\geq 8$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=2;b=c=\frac{1}{2}$ và các hoán vị




#683490 $y=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}+2\sqrt{18-3x-x^{2}}$

Gửi bởi Cuongpa trong 07-06-2017 - 10:46

Tìm min, max của hàm số :

  $y=\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}+2\sqrt{18-3x-x^{2}}$

 

Tập xác định: $x\in \left [ -3;6 \right ]$

Đặt $\sqrt{x+3}=a;\sqrt{6-x}=b$  $ (a.b\geq 0)$

Khi đó $y=a+b+2ab$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=3\sqrt{2}\\ 2ab\leq a^2+b^2=9 \end{matrix}\right.$

Suy ra $P\leq 9+3\sqrt{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=\frac{3}{2}$

 

Đối với trường hợp min thì ta có bất đẳng thức phụ sau:

$\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=0$ hoặc $b=0$

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

$y=(\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x})+2\sqrt{18-3x-x^2}\geq \sqrt{x+3+6-x}=3$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} x+3=0\\ 6-x=0 \end{bmatrix}\\ 18-3x-x^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-3\\ x=6 \end{bmatrix}$




#683463 Cho $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Hãy...

Gửi bởi Cuongpa trong 07-06-2017 - 04:57

Cho $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Hãy so sánh $x,y,z$ với $1$ và chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz<2$

Do $x,y,z$ là độ dài $3$ cạnh một tam giác nên $x<y+z\Leftrightarrow x<2-x\Leftrightarrow x<1$

Tương tự ta cũng có $y<1;$ $z<1$

Do đó ta có bất đẳng thức sau:

$(1-x)(1-y)(1-z)>0$

$\Leftrightarrow 1-(x+y+z)+(xy+yz+zx)-xyz>0$

$\Leftrightarrow 4-2(xy+yz+zx)+2xyz<2$         (vì $x+y+z=2$)

$\Leftrightarrow (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+2xyz<2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz<2$




#683225 Tính P= $1+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt...

Gửi bởi Cuongpa trong 05-06-2017 - 16:35

Tính giá trị biểu thức:

P= $1+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2^{2}-1}}}+\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{3^{2}-1}}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017+\sqrt{2017^{2}-1}}}$

Chú ý điều sau: Với $a$ nguyên dương thì

$\sqrt{2}.\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}=\sqrt{(a+1)+(a-1)+2\sqrt{(a+1)(a-1)}}= \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}$

Do đó:

$\frac{1}{\sqrt{a+\sqrt{a^2-1}}}= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}.(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1})$

Đến đây thì dễ rồi




#682597 Toán 6 (Tìm x;y thuộc N)

Gửi bởi Cuongpa trong 31-05-2017 - 23:06

c)$(3x+1)\vdots (2x-1)$

$(3x+1)\vdots (2x-1)\Rightarrow (6x+3)\vdots (2x-1)\Rightarrow 6\vdots (2x-1)$

Do đó $2x-1\in \left \{ -1;1;3 \right \}$ (vì $2x-1\geq -1;2x-1$ lẻ)

$\Rightarrow x\in \left \{ 0;1;2 \right \}$

Thử lại thì $x=\pm 1$ thỏa mãn

 

 

d)$(x-2)(2y+1)=17$

Do $x,y \in \mathbb{N}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\geq 0\\ 2y+1\geq 1 \end{matrix}\right.$

Vì vậy từ đề ra ta có 2 trường hợp

  • $\left\{\begin{matrix} x-2=1\\ 2y+1=17 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=3\\ y=8 \end{matrix}\right.$
  • $\left\{\begin{matrix} x-2=17\\ 2y+1=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=19\\ y=0 \end{matrix}\right.$

 

e)$xy+x+2y=5$

Biến đổi phương trình thành:

$(x+2)(y+1)=7$

Làm tương tự như câu $d$ ta được bộ $(x;y)$ thỏa mãn là $(5;0)$




#682268 Tìm max và min của A= x-2y+3

Gửi bởi Cuongpa trong 29-05-2017 - 01:12

3. Chứng minh rằng với mọi x ta luôn có : 

         $(2x+1)\sqrt{x^{2}-x+1} > (2x-1) \sqrt{x^{2}+x+1}$

 

Thực ra bài này không cần xét đến $2$ trường hợp nếu để ý nếu $2x+1<0$ ta thay $x=-a$ ta sẽ có bất đẳng thức:

$(-2a-1)\sqrt{a^2+a+1}> (-2a-1)\sqrt{a^2-a+1}$

$\Leftrightarrow (2a+1)\sqrt{a^2-a+1}> (2a-1)\sqrt{a^2+a+1}$




#681746 Tìm nghiệm nguyên $\sqrt{x+\sqrt{x}}=y$

Gửi bởi Cuongpa trong 24-05-2017 - 02:17

Tìm nghiệm nguyên

1. $x^{2}+5y^{2}+6z^{2}+2xy-4xz=10$

 

Bài này chắc có hướng đơn giản nhất

 

 

Phương trình tương đương:

$x^2+2x(y-2z)+(y^2-4yz+4z^2)+(4y^2+4yz+z^2)+z^2=10$

$\Leftrightarrow (x+y-2z)^{2}+(2y-z)^{2}+z^2=0^2+1^2+3^2$

Đến đây xét từng trường hợp thì ra được nghiệm của phương trình (hình như là $18$ trường hợp phải )

 

 

Tìm nghiệm nguyên

4. $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

Bài này hướng của mình như thế này:

Biến đổi phương trình thành:

$(x+y)(x^2+y^2)=2(x+y)^2+2(x^2+y^2)+12$

Đặt $x+y=a; x^2+y^2=b$ thì phương trình trên trở thành:

$ab=2a^2+2b+12\Leftrightarrow (a-2)(2a+4-b)=-20$

Tìm được $a,b$ sau đó thay vào tìm $x,y$. Có thể dùng cả việc $x+y$ và $x^2+y^2$ cùng tính chẵn lẻ và $x^2+y^2\equiv 0;1;2(mod4)$ để rút ngắn bớt trường hợp

 




#681688 $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{3}{4}(a+b...

Gửi bởi Cuongpa trong 23-05-2017 - 20:47

Chứng minh rằng:

$ (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq \frac{3}{4}(a+b+c)^2$

Đặt $x=a\sqrt{2}; y=b\sqrt{2};z=c\sqrt{2}$ thì bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$(\frac{x^2}{2}+1)(\frac{y^2}{2}+1)(\frac{z^2}{2}+1)\geq \frac{3}{4}(\frac{x+y+z}{\sqrt{2}})^{2}$

$\Leftrightarrow (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\geq 3(x+y+z)^{2}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ ta có:

$(x+y+z)^{2}\leq (x^2+2)(1+\frac{y^2+z^2+2yz}{2})$

Do đó ta cần phải chứng minh:

$(y^2+2)(z^2+2)\geq 3(1+\frac{y^2+z^2+2yz}{2})$

$\Leftrightarrow 2(yz-1)^2+(y-z)^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=1$ hay $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$




#681664 chứng minh bài toán chia hết

Gửi bởi Cuongpa trong 23-05-2017 - 17:36

bạn hơi nhầm rồi. đáp số ko phải là 2 đâu nhé.

À nhầm thật, lấy $5^2+1^5$ :/ để mình thử giải lại

Nhân tiện theo định lí $Fermat$ nhỏ thì ta có $12$ là một nghiệm, mà hình như là nhỏ nhất rồi phải