LeHKhai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX VÀ LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2013 – 2014

Ngày thi : 20 tháng 03 năm 2014

Môn thi : TOÁN          Lớp : 9 THCS

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (4 điểm)

1) Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $A=n\left ( 2n+1 \right )\left ( 7n+1 \right )$ chia hết cho $6$.

2) Giải phương trình với nghiệm nguyên $(x;y)$ : $3x^2+7y^2=210$.

Bài 2 (4 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức $P=x^5+2x^4-2014x^3+x^2+2x-2013$ khi $x=\sqrt{2015}-1$.

2) Giải phương trình $4x^4-10x^3+8x^2-5x+1=0$.

Bài 3 (4 điểm)

1) Cho tam giác $ABC$ với $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $\widehat{BAC}=60^{\circ}$. Chứng minh rằng $ab+bc+ca\leq 3a^2$.

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{3x-3}{x^2-x+1}$.

Bài 4 (4 điểm) Cho hình vuông $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy điểm $P$ ($P$ khác $A$ và $B$), tia $DP$ cắt tia $CB$ tại $E$. Trên tia $BA$, lấy điểm $Q$ ($Q$ nằm ngoài cạnh $AB$) sao cho $AQ=BE$. Đường thẳng $EA$ cắt $CP$, $CQ$ lần lượt tại $M$ và $H$.

1) Chứng minh rằng $H$ là trực tâm tam giác $DEQ$.

2) Chứng minh rằng $MB$ vuông góc $DE$.

Bài 5 (4 điểm) Cho đường tròn $(O)$ có tâm $O$, bán kính $R$ và tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Vẽ các đường cao $BK$, $CL$ của tam giác $ABC$ và vẽ đường kính $AD$ của $(O)$.

1) Chứng minh rằng $KL$ vuông góc với $AD$.

2) Cho $BC=x$. Tính diện tích tứ giác $AKDL$ theo $R$ và $x$. Giả sử điểm $A$ cố định, còn các điểm $B$, $C$ di động trên đường tròn $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ luôn luôn có ba góc nhọn. Hãy tính $x$ theo $R$ để diện tích tứ giác $AKDL$ đạt giá trị lớn nhất.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX VÀ LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2012 – 2013

Ngày thi : 20 tháng 03 năm 2013

Môn thi : TOÁN          Lớp : 9 THCS

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (4 điểm)

1) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p+10$ và $p+14$ cũng là số nguyên tố.

2) Giải phương trình với nghiệm nguyên $3x^2+y^2+4xy-4x-2y+4=0$.

Bài 2 (4 điểm)

1) Cho $a$ là số dương và $\left (x+\sqrt{x^2+a} \right )\left ( y+\sqrt{y^2+a} \right )=a$. Tính tổng $P=x+y$.

2) Giải phương trình $\left ( x^2-6x \right )^2-2\left ( x-3 \right )^2=81$.

Bài 3 (4 điểm)

1) Cho $a$, $b$, $c$ là các số thỏa mãn điều kiện : $a\geq 1$, $b\geq 2$, $c\geq 3$ và $a^2+b^2+c^2=21$. Chứng minh rằng $a+b+c\geq7$.

2) Cho $x^2+xy+y^2=3$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thưc $P=x^2-xy+y^2$.

Bài 4 (4 điểm) Tia phân giác góc $BAD$ của hình bình hành $ABCD$ cắt các đường thẳng $BC$ và $DC$ lần lượt tại hai điểm $M$ và $N$. Chứng minh rằng :

1) Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $CMN$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$.

2) Nếu $K$ là giao điểm thứ hai (khác $C$) của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $CMN$ và $CBD$ thì góc $AKC=90^{\circ}$.

Bài 5 (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính $AB$, bán kính $R$. Trên nửa đường tròn này, lấy điểm $C$ ($C$ khác $A$, $B$), dựng $CH$ vuông góc $AB$ ($H$ thuộc $AB$). Gọi $O_1$ và $O_2$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AHC$ và $BHC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

1) Chứng minh rằng $CI=O_1O_2$.

2) Xác định vị trí của $C$ trên nửa đường tròn để đoạn $O_1O_2$ có độ dài lớn nhất và tính độ dài lớn nhất đó theo $R$.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX VÀ LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2011 – 2012

Ngày thi : 15 tháng 03 năm 2012

Môn thi : TOÁN          Lớp : 9 THCS

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (4 điểm)

1) Tìm cặp số tự nhiên $(m;n)$ thỏa mãn hệ thức $m^2+n^2=m+n+8$.

2) Cho $f(x)=x^2+ax+b-1$. Giả sử phương trình $f(x)=-2$ có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng $P=\frac{1}{2}\left [ f^2(1)+f^2(-1) \right ]$ là một hợp số.

Bài 2 (4 điểm)

1) Giải phương trình $\left ( x^2-12x-64 \right )\left ( x^2+30x+125 \right )+8000=0$.

2) Chứng minh rằng với mọi $n>0$, ta có $\frac{1}{\left ( n+1 \right )\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$. Từ đó hãy tính tổng $S=\frac{1}{2+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$

Bài 3 (4 điểm)

1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=2x+\sqrt{1-4x-x^2}$

2) Cho $x$, $y$, $z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z}+\frac{z^2}{1+x}\geq \frac{3}{2}$

Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn. Gọi $P$ là một điểm di động trên cung $BC$ không chứa $A$. Hạ $AM$, $AN$, $AH$ lần lượt vuông góc với $PB$, $PC$ và $BC$.

1) Chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

2) Xác định vị trí của điểm $F$ sao cho biểu thức $AM.PB+AN.PC$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5 (4 điểm) Cho tứ giác lồi$ABCD$ có diện tích là $S$, hai cạnh $AD$, $BC$ và đường chéo $BD$ của tứ giác thỏa mãn $AD + BC + BD \leq 2\sqrt{2S}$. Tính độ dài đường chéo $AC$ còn lại của tứ giác theo $S$.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX VÀ LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

Ngày thi : 24 tháng 03 năm 2011

Môn thi : TOÁN          Lớp : 9 THCS

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (4 điểm)

1) Chứng minh rằng tổng $S=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2013}$ chia hết cho $13$.

2) Cho $A(n)=\left ( 10^n+10^{n-1}+...+10+1 \right )\left ( 10^{n+1}+5 \right )+1$, $\forall n\in\mathbb{N}$. Chứng minh $A(n)$ là số chính phương.

Bài 2 (4 điểm)

1) Cho $2$ đa thức $P(x)=x^{81}+ax^{49}+bx^{29}+cx^{17}+2x+1$ và $Q(x)=x^{81}+ax^{49}+bx^{29}+cx^{17}+Mx+N$. Tìm cặp số $(M;N)$, biết $P(x)$ chia cho $x-1$ dư là $5$ và chia cho $x-2$ dư là $-4$, $Q(x)$ chia hết cho $\left ( x-2 \right )\left ( x-1 \right )$.

2) Giải phương trình $x^4+\left ( x-1 \right )\left ( x^2-2x+2 \right )=0$.

Bài 3 (4 điểm)

1) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : $B=9x^2\sqrt{1+x^4}+13x^2\sqrt{1-x^4}$ (với $-1<x<1$).

2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}503x+503y=\sqrt{2012z-1} \\ 503y+503z=\sqrt{2012x-1}\\503z+503x=\sqrt{2012y-1}.\end{matrix}\right.$

Bài 4 (4 điểm) Cho tứ giác $ABCD$. Các đường thẳng $BA$ và $CD$ cắt nhau tại $E$, các đường thẳng $DA$ và $CB$ cắt nhau tại $M$. Gọi $F$ và $G$ lần lượt là trung điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

1) Chứng minh rằng $S_{MFG}=S_{EFG}=\frac{1}{4}S_{ABCD}$.

2) Gọi $K$ là trung điểm của đoạn $ME$. Chứng minh rằng $F$, $G$, $K$ thẳng hàng.

Bài 5 (4 điểm) Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $xy$ cố định ngoài đường tròn. Từ điểm $M$ tùy ý trên $xy$ vẽ các tiếp tuyến $MA$, $MB$ tới đường tròn ($A$, $B$ là các tiếp điểm).

1) Chứng minh rằng khi điểm $M$ di động trên $xy$ thì dây $AB$ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

2) Xác định vị trí của $M$ trên $xy$ và $N$ trên đường tròn $(O)$ sao cho đoạn thẳng $MN$ có độ dài nhỏ nhất.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX VÀ LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2009 – 2010

Ngày thi : 24 tháng 03 năm 2010

Môn thi : TOÁN          Lớp : 9 THCS

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (4 điểm)

1) Chứng minh rằng $11^{10^{2009}}-1$ chia hết cho $10^{2010}$.

2) Tìm hai chữ số tận cùng của tổng $S=1^{2002}+2^{2002}+3^{2002}+...+2012^{2002}$.

Bài 2 (4 điểm)

1) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{3554-102\sqrt{953}}+\sqrt{1482-46\sqrt{953}}+\sqrt{7195+144\sqrt{2011}}$.

2) Giải phương trình $4x^6-114x^5+444x^4-275x^3-313x^2+23x+24=0$.

Bài 3 (4 điểm)

1) Chứng minh rằng $21\left ( a+\frac{1}{b} \right )+3\left ( b+\frac{1}{a} \right )\geq 80$ với $a\geq3$, $b\geq3$. Dấu bằng xảy ra khi nào ?

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B=-x^2-625y^2-48xy+6x+284y+1901$.

Bài 4 (4 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ lấy điểm $P(0;1)$. Vẽ đường tròn có đường kính $OP$. Trên trục hoành lấy ba điểm $M(a;0)$, $N(b;0)$, $Q(c;0)$. $PM$, $PN$, $PQ$ lần lượt cắt đường tròn tại $A$, $B$, $C$. Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ theo $a$, $b$, $c$.

Bài 5 (4 điểm) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Một đường thẳng qua $C$ cắt các tia đối của tia $BA$, $DA$ theo thứ tự tại $M$, $N$. Chứng minh rằng $\frac{4S_{BCD}}{S_{AMN}}\leq\left ( \frac{BD}{AC} \right )^2$.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 GDTX VÀ LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2008 – 2009

Ngày thi : 24 tháng 03 năm 2009

Môn thi : TOÁN          Lớp : 9 THCS

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (3 điểm) Tìm tất cả các cặp số $(x;y)$ với $x$, $y$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{xy}{x+y}=2009$.

Bài 2 (3 điểm) Giải phương trình trong tập hợp các số nguyên dương : $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\frac{1}{\sqrt{2009}}$.

Bài 3 (3 điểm)

1) Cho biết $x+y+z=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=xy+yz+zx$.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B=x^2+2y^2+3z^2-2xy+2xz-2x-2y-8z+2016$.

Bài 4 (3 điểm) Chứng minh bất đẳng thức $\left ( \frac{4a}{b+c}+1 \right )\left ( \frac{4b}{c+a}+1 \right )\left ( \frac{4c}{a+b}+1 \right )>25$, trong đó $a$, $b$, $c$ là các số dương.

Bài 5 (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ đều, $H$ là trực tâm, đường cao $AD$. $M$ là điểm bất kì trên cạnh $BC$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB$, $AC$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$. $ID$ cắt $EF$ tại $K$. Chứng minh $M$, $H$, $K$ thẳng hàng.

Bài 6 (4 điểm) Cho ba đường tròn $(O_1;R_1)$, $(O_2;R_2)$ và $(O_3;R_3)$ với $R_3<R_1\leq R_2$, cùng tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $3$ điểm $A$, $B$, $P$ và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn $(O_3;R_3)$ với đường tròn $(O_1;R_1)$, $(O_2;R_2)$ và đường thẳng $d$.

1) Tính độ dài đoạn $AB$, $AP$ và $PB$ theo các bán kính của các đường tròn.

2) Chứng minh rằng diện tích của tam giác $MNP$ bằng $\frac{2R_3^2R_1R_2}{\left ( R_3+R_1 \right )\left ( R_3+R_2 \right )}$.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2007 – 2008

Ngày thi : 27 tháng 03 năm 2008

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}3xy=2\left ( x+y \right )\\ 5yz=6\left ( y+z \right )\\ 4xz=3\left ( z+x \right ).\end{matrix}\right.$

Bài 2 (4 điểm) Tìm các hệ số $p$ và $q$ của phương trình $x^2+px+q=0$ sao cho các nghiệm của nó thỏa mãn hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x_1-x_2=5\\ x_1^3-x_2^3=35\end{matrix}\right.$.

Bài 3 (4 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số $x$, $y$ dương, ta có $\frac{1}{x+y}\leq\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}$.

2) Chứng minh rằng với mọi số $a$, $b$, $c$ dương ta có $\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\leq\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}$.

Bài 4 (4 điểm) Cho $\Delta ABC$ có các đường cao $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Từ $A_1$ vẽ các đường vuông góc với $AB$, $AC$, $BB_1$, $CC_1$ lần lượt tại $M$, $N$, $P$, $Q$. Chứng minh rằng bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ thẳng hàng.

Bài 5 (4 điểm) Cho $M$ là một điểm tùy ý trong đường  tròn tâm $O$, bán kính $R$ ($M$ khác $O$). Qua $M$ vẽ hai dây cung $AB$ và $CD$ vuông góc nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của $AB+CD$.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2006 – 2007

Ngày thi : 04 tháng 04 năm 2007

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (4 điểm) Tìm các số $a$, $b$, $c$ để đa thức $f(x)=x^4+2x^3+ax^2+bx+1$ là bình phương của tam thức bậc hai $g(x)=x^2+x+c$.

Bài 2 (4 điểm) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên mà khi cộng số đó với tổng các chữ số của số đó ta được $2007$.

Bài 3 (4 điểm)

1) Cho ba số $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$. Chứng minh rằng $a=b=c$.

2) Cho $\frac{x}{3y}=\frac{y}{2x-5y}=\frac{6x-15}{x}$ và $P=-4x^2+36y-8$ đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng $x+y$.

Bài 4 (5 điểm) Cho $M$ là trung điểm cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ và $\widehat{CAB}=45^\circ$, $\widehat{ABC}=30^\circ$.

1) Tính $\widehat{AMC}$.

2) Chứng minh rằng $AM=\frac{BA.BC}{2AC}$.

Bài 5 (3 điểm) Cho góc vuông $xOy$. Gọi $A$ là điểm trên $Ox$, $B$ là điểm trên $Oy$ ($A\neq O$, $B\neq O$). Chứng minh rằng $OA+OB\sqrt{3}\leq 2AB$.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2005 – 2006

Ngày thi : 23 tháng 03 năm 2006

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (3 điểm) Xác định các hệ số $a$, $b$, $c$ để đa thức $f(x)=x^5+x^4+3x^3-x^2+ax+b$ chia hết cho đa thức $g(x)=x^2+x+1$.

Bài 2 (3 điểm) Cho đa thức bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ có các hệ số $a$, $b$, $c$ nguyên. Khi $x$ là số nguyên thì $f(x)$ chia hết cho $3$. Chứng minh rằng các hệ số của $f(x)$ đều chia hết cho $3$.

Bài 3 (5 điểm)

1) Chứng minh rằng nếu $x$, $y >0$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq\frac{4}{x+y}$. Đẳng thức xảy ra khi nào ?

2) Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$ với $x$, $y$, $z >0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$.

Bài 4 (4 điểm) Trong tam giác vuông cân $ABC$, $AC=BC$, đường phân giác kẻ từ $A$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh rằng độ dài đoạn $PB$ bằng đường kính của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Bài 5 (5 điểm) Cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, bán kính $R$. Từ một điểm $M$ nằm trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ kẻ $MH$, $MI$, $MK$ lần lượt vuông góc với các đường thẳng $AB$, $BC$, $CA$. Xác định vị trí điểm $M$ sao cho tổng $d=MA+MB+MC+MH+MI+MK$ đạt giá trị lớn nhất.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2004 – 2005

Ngày thi : 30 tháng 03 năm 2005

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (3 điểm) Với mọi số nguyên $n$, chứng minh rằng $n\left ( n+1 \right )\left ( 2n+1 \right )$ chia hết cho $6$.

Bài 2 (3 điểm) Xác định các số $b\neq 0$, $c\neq 0$ để phương trình $x^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt là $b$ và $c$.

Bài 3 (3 điểm) Trong các tam giác mà độ dài ba cạnh là các số nguyên, chu vi là $12$ (đơn vị độ dài), hãy tìm độ dài các cạnh của tam giác để tam giác có diện tích lớn nhất.

Bài 4 (3 điểm) Cho $x>0$, $y>0$. Chứng minh rằng $\left ( x^2+y^2 \right )^2\geq xy\left (x+y \right )^2$.

Bài 5 (3 điểm) Bánh tráng loại nhỏ – đường kính $20cm$ – được bán với giá $2000$ đồng/$1$ chục (một chục bánh tráng có $10$ cái bánh) ; bánh tráng loại lớn – đường kính $30cm$ – được bán với giá $3000$ đồng/$1$ chục. Nếu có $6000$ đồng, em sẽ mua loại bánh nào để được lợi nhất ? Biết rằng độ dày và chất lượng bánh của hai loại như nhau.

Bài 6 (5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính $AB$ và $C$ là điểm thuộc nửa đường tròn. Hạ đường cao $CH$ của tam giác $ABC$. Gọi $O_1$, $r_1$ và $O_2$, $r_2$ lần lượt là tâm và bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác $ACH$ và $BCH$. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

1) Chứng minh $r^2=r_1^2+r_2^2$.

2) Tìm vị trí của $C$ trên nửa đường tròn đường kính $AB$ để độ dài đoạn $O_1O_2$ đạt giá trị lớn nhất.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2003 – 2004

Ngày thi : 24 tháng 03 năm 2004

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (6 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$, ta có $n^4+5n^2+6n$ chia hết cho $12$.

2) Cho đa thức $P(x)=x^5+ax^2+b$. Xác định các số $a$, $b$ biết rằng $P(1)=22$ và $P(-2)=61$.

Bài 2 (6 điểm)

1) Giải phương trình $x^2+x+12\sqrt{x+1}=36$.

2.a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{24+x}+\sqrt{3-x}$.

2.b) Giải phương trình $\sqrt{24+x}+\sqrt{3-x}-y^2-2y=3\sqrt{6}+1$.

Bài 3 (8 điểm)

1) Trong tam giác cân $ABC$ ($AB=BC$), góc ở $B$ bằng $20^\circ$. Trên các cạnh $BC$ và $AB$ lấy điểm $D$ và $E$ tương ứng sao cho $\widehat{DAC}=60^\circ$, $\widehat{FCA}=50^\circ$. Tính góc $ADE$.

2) Cho tam giác nhọn $ABC$ có $M$ là điểm nằm trong tam giác. Xác định vị trí của điểm $M$ để $MA.BC+MB.CA+MC.AB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

----HẾT----

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH

---------------------------------------

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS VÒNG TỈNH

NĂM HỌC 2002 – 2003

Ngày thi : $\mathbf{\overline{2*}}$ tháng 03 năm 2003

Môn thi : TOÁN

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

-----------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang, thí sinh không phải chép đề vào giấy thi)

Bài 1 (6 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$, ta có $3n^4-14n^3+21n^2-10n$ chia hết cho $24$.

2) Giải phương trình $\frac{x^2+2002x+1}{2004}+\frac{x^2+2002x+2}{2005}=\frac{x^2+2002x+3}{2006}+\frac{x^2+2002x+4}{2007}$

Bài 2 (6 điểm)

1) Cho $x$, $y$, $z$, $t$ là các số dương. Chứng minh rằng $1<\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}<2$

2. Tìm cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn phương trình $\left ( 4x^2+6x+4 \right )\left ( 4y^2-12y+25 \right )=28$

Bài 3 (8 điểm) Cho đường tròn $(O)$ và đường thẳng $d$ cắt đường tròn tại $2$ điểm $A$, $B$. Từ một điểm $M$ bất kì trên $d$ và nằm ở ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến $MP$ và $MN$ ($P$ và $N$ là các tiếp điểm). Tìm tập hợp các tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ khi $M$ di động trên $d$.

----HẾT----