Đến nội dung

hoilamchi

hoilamchi

Đăng ký: 15-04-2015
Offline Đăng nhập: 29-01-2017 - 10:40
***--

Trong chủ đề: Inequalities From 2016 Mathematical Olympiads

26-07-2016 - 22:30

Ta có các BĐT sau theo AM-GM cho 4 số thực dương:

$\frac{1}{4}(1+\frac{2a}{a+b}+\frac{3a}{a+b+c}+\frac{4a}{a+b+c+d})\geq \sqrt[4]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3a}{a+b+c}.\frac{4a}{a+b+c+d}}$

 

$\frac{1}{4}\left ( 1+1+\frac{2b}{a+b}+\frac{4c}{a+b+c+d} \right )\geq \sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{4c}{a+b+c+d}}$

 

$\frac{1}{4}\left ( 1+\frac{2b}{a+b}+\frac{3c}{a+b+c}+\frac{4d}{a+b+c+d}\right )\geq \sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{3c}{a+b+c}.\frac{4d}{a+b+c+d}}$

 

$\frac{1}{4}(1+\frac{2a}{a+b}+\frac{3b}{a+b+c}+\frac{4b}{a+b+c+d})\geq \sqrt[4]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3b}{a+b+c}.\frac{4b}{a+b+c+d}}$

 

Cộng tất cả các bất đẳng thức trên lại và ta thu được:

 

$4\geq \sqrt[4]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3a}{a+b+c}.\frac{4a}{a+b+c+d}}+\sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{4c}{a+b+c+d}}+\sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{3c}{a+b+c}.\frac{4d}{a+b+c+d}}+\sqrt[4]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3b}{a+b+c}.\frac{4b}{a+b+c+d}}$

 

Suy ra:

 

$\sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}\geq \frac{1}{4}(a+\sqrt{ab}+\sqrt[4]{abc.\frac{a+b+c}{3}}+\sqrt[4]{abcd})\geq \frac{1}{4}(a+\sqrt{ab}+\sqrt[4]{abc.\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[4]{abcd})=\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4}$

Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d$.

 

Remark

Có link bài tổng quát không bạn


Trong chủ đề: Topic yêu cầu tài liệu THPT

21-07-2016 - 20:11

Ai có tuyển tập đề thi Olympic 30.4 hằng năm của lớp 10 (lớp 11,12 càng tốt)bản PDF thì post lên cho em với ạ


Trong chủ đề: Đề thi môn Toán vòng 1 vào chuyên Khoa Học Tự Nhiên năm 2016-2017

05-06-2016 - 11:37

Mình ko còn xài facebook nữa

Mình cũng không có ý gì đâu nhưng nếu bạn tự nghĩ thì cho mình xin ý tưởng với,vì lời giải của bạn không được tự nhiên bằng 2 người kia  :(


Trong chủ đề: Đề thi môn Toán vòng 1 vào chuyên Khoa Học Tự Nhiên năm 2016-2017

05-06-2016 - 11:32

Từ giả thiết suy ra $\frac{1}{x}+\frac{2}{y} \ge 2$ 
Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y}$ 
Ta có $a \ge b \ge \frac{1}{2}$ và $a+2b \ge 2$ 
Và $P=\frac{1}{a^4}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{b^2}$ 
$(1-\frac{b^2}{a^2})(\frac{1}{b^2}-4) \le 0 \Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \le \frac{2-4b^2}{a^2}+4 \le 5$ 
Tương tự xét tích $(1-\frac{b^4}{a^4})(\frac{1}{b^4}-16) \le 0 \Rightarrow \frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4} \le 17$ 
Suy ra $P \le 22$ khi $x=1,y=2$

Lời giải này giống với lời giải của thầy Cẩn quá  :wacko:


Trong chủ đề: $2(4x^{3}-x+3)^{3}=3+2x^{3}$ Tín...

07-05-2016 - 19:15

 

Lời giải:

 

Ta đặt $ y = 2x$ suy ra phương trình đầu tiên tương đương với:

 

$ 2 \left( \frac{y^3}{2} - \frac{y}{2} +3 \right)^3 = 3 + \frac{y^3}{4}$

 

Nên nhân $2$ vế của phương trình trên với $4$ thì ta có phương trình:

 

$ (y^3 - y+6)^3 = 12+ y^3$

 

Tới đây ta nhìn thấy phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình:

Thật vậy, đặt $ z= y^3 -y+6$  thì phương trình đã cho tương đương với:

 

$\left\{\begin{matrix}
z=y^3-y+6 & \\
y^3+12=z^3   (*) &
\end{matrix}\right.$

 

Suy ra: $ z^3 - z = y^3 +12- y^3 + y-6 = y+6 \implies  y = z^3-z-6  $

Nên hệ đã cho sẽ tương đương với:

 

 

$\left\{\begin{matrix}
z=y^3-y+6 & \\
y = z^3-z-6 &
\end{matrix}\right.$

Suy ra:  $ z+ y = y^3+z^3 - (y+z) \iff (y+z) \cdot \left( y^2 -yz +z^2 -2 \right) =0$

 

Tương đương với: $ z=-y$ hoặc $y^2-yz+ z^2 =2$

 

Thay $z= -y$ vào $(*)$ thì ta có: $ y^3 = -6 \iff y = -\sqrt[3]{6}$

 

$ \implies x = - \sqrt[3]{ \frac{3}{4}} \implies M = (1+x^3)(1+x^6) = \left(1 - \frac{3}{4} \right) \left(1 + \frac{9}{16} \right)  = \frac{25}{64}$

 

Như vậy chỉ còn 1 trường hợp cần xét:

 

$\left\{\begin{matrix}
y^2-yz+z^2 =2  & \\
y^3+12 = z^3 &
\end{matrix}\right.$    

 

$\iff \left\{\begin{matrix} y^2-yz+z^2=2 & \\ (y-z)(y^2+yz+z^2)=  -12   (**)& \end{matrix}\right.$

 

Nhưng hệ này vô nghiệm vì với những cặp số thực $(y;z)$ thỏa $y^2-yz+z^2=2$ thì theo bất đẳng thức Cauchy:

 

$ (y-z)^2 \cdot (y^2+yz+z^2)^2 \leq \left( \frac{ (y-z)^2 + (y^2+yz+z^2) + (y^2+yz+z^2)}{3} \right)^3  = (y^2+z^2)^3 \leq (2(y^2-yz+z^2))^3 = 4^3 < 12^2$

Mâu thuẫn với $(**)$

 

Do đó M chỉ có thể nhận $1$ giá trị duy nhất là $\frac{25}{64}$

 

Và bài toán theo đó được giải quyết hoàn toàn

Anh có ý tưởng gì cho việc đặt $2x=y$ ngay dòng đầu không ạ?