Ta có các BĐT sau theo AM-GM cho 4 số thực dương:
$\frac{1}{4}(1+\frac{2a}{a+b}+\frac{3a}{a+b+c}+\frac{4a}{a+b+c+d})\geq \sqrt[4]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3a}{a+b+c}.\frac{4a}{a+b+c+d}}$
$\frac{1}{4}\left ( 1+1+\frac{2b}{a+b}+\frac{4c}{a+b+c+d} \right )\geq \sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{4c}{a+b+c+d}}$
$\frac{1}{4}\left ( 1+\frac{2b}{a+b}+\frac{3c}{a+b+c}+\frac{4d}{a+b+c+d}\right )\geq \sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{3c}{a+b+c}.\frac{4d}{a+b+c+d}}$
$\frac{1}{4}(1+\frac{2a}{a+b}+\frac{3b}{a+b+c}+\frac{4b}{a+b+c+d})\geq \sqrt[4]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3b}{a+b+c}.\frac{4b}{a+b+c+d}}$
Cộng tất cả các bất đẳng thức trên lại và ta thu được:
$4\geq \sqrt[4]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3a}{a+b+c}.\frac{4a}{a+b+c+d}}+\sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{4c}{a+b+c+d}}+\sqrt[4]{\frac{2b}{a+b}.\frac{3c}{a+b+c}.\frac{4d}{a+b+c+d}}+\sqrt[4]{\frac{2a}{a+b}.\frac{3b}{a+b+c}.\frac{4b}{a+b+c+d}}$
Suy ra:
$\sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}\geq \frac{1}{4}(a+\sqrt{ab}+\sqrt[4]{abc.\frac{a+b+c}{3}}+\sqrt[4]{abcd})\geq \frac{1}{4}(a+\sqrt{ab}+\sqrt[4]{abc.\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[4]{abcd})=\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4}$
Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d$.
Remark
Có link bài tổng quát không bạn